Załamanie — zadanie: kierunek i długość fali w szkle

Rozwiązanie

Dwa pytania wymagają dwóch zależności

Kąt wyznaczymy z prawa załamania, a długość fali z jej prędkości i częstotliwości. Nie szukamy jednego wzoru zawierającego wszystkie dane. Najpierw szkic: powietrze nad szkłem, prostopadła normalna i promień padający. Ponieważ n rośnie, oczekujemy promienia bliższego normalnej. Kąt załamania musi być mniejszy niż 30°.

We wzorze n₁sin α = n₂sin β najpierw dzielimy przez n₂. Dopiero z wartości sin β obliczamy β. Dla długości fali warunek nieruchomej granicy jest kluczowy: częstotliwość po obu stronach pozostaje wspólna. Wtedy λ/λ₀ = v/c = 1/n.

Obliczenia

Z prawa załamania sin β = (1/1,5) sin 30° = 1/3. Stąd β ≈ 19,47°. Kąt jest mniejszy od kąta padania, zgodnie z przejściem do ośrodka o większym współczynniku załamania.

Długość fali w szkle wynosi λ = λ₀/n = 600/1,5 = 400 nm.

Odpowiedź: około 19,5°, 400 nm; częstotliwość pozostaje niezmieniona.

Mniejsza prędkość przy tej samej częstotliwości oznacza mniejszą długość fali. Nie należy dzielić częstotliwości przez 1,5 drugi raz — prowadziłoby to do sprzeczności z zależnością v = λf i warunkiem nieruchomej granicy.

Odwrócony problem

Przy wymaganym β = 30° szukany sinus kąta padania to sin α = 1,5 sin 30° = 0,75. Otrzymujemy α ≈ 48,59°. Wynik jest większy niż kąt w szkle. Nie wystarczy zamienić 30° z poprzedniego obliczenia na 19,47° bez odwrócenia ról kątów.

Jeszcze kontrola niezależna: dla c ≈ 3 · 10⁸ m/s wejściowa częstotliwość wynosi 5 · 10¹⁴ Hz. Iloczyn tej częstotliwości i 400 nm daje 2 · 10⁸ m/s, czyli c/1,5. Wyszła właściwa prędkość w szkle.

Dalszy krok: przejście przez całą płytkę szkła

Do danych zadania dodajmy płytkę o dwóch równoległych powierzchniach, grubości t = 20 mm, otoczoną z obu stron powietrzem. W szkle promień biegnie pod β ≈ 19,47°. Przy drugim wyjściu n szkła · sin β = n powietrza · sin αwy, więc αwy = 30°. Kierunek wyjściowy jest równoległy do wejściowego. Nie oznacza to jednak, że promień wraca na tę samą prostą.

Przy dolnej powierzchni rzeczywisty promień jest odsunięty poziomo o t tan β od punktu leżącego pod wejściem. Gdyby szkła nie było, przesunięcie wynosiłoby t tan α. Różnica tych odległości jest pozioma, podczas gdy odległość między równoległymi promieniami mierzymy prostopadle do nich. Jej wartość jest zatem mniejsza o czynnik cos α:

s=t(\tan\alpha-\tan\beta)\cos\alpha=\frac{t\sin(\alpha-\beta)}{\cos\beta}\approx3{,}88\ \mathrm{mm}.

Kontrola graniczna: przy α = 0 również β = 0 i przesunięcie znika. Przy t = 0 znika droga w szkle, więc s także wynosi zero. Po wyjściu do powietrza długość fali wraca do 600 nm, a częstotliwość przez cały czas pozostaje równa 5 · 10¹⁴ Hz. Obliczony tor opisuje wiązkę przechodzącą; pomijamy słabsze odbicia na obu powierzchniach. Dla klina o nierównoległych powierzchniach wyjściowe promienie nie muszą być równoległe do wejściowych.

Powiązana teoria

Załamanie światła i całkowite wewnętrzne odbicie

Dalsza lektura

Materiał referencyjny