Całkowite odbicie — zadanie: czy światło wyjdzie ze szkła?

Rozwiązanie

Sprawdź możliwość zjawiska przed rachunkiem

Całkowite wewnętrzne odbicie wymaga przejścia od większego n do mniejszego. Ten warunek jest spełniony, lecz nie wystarcza: kąt padania musi także przekroczyć graniczny. Rysujemy normalną i zaznaczamy, że 50° mierzymy od niej, a nie od powierzchni. Gdyby to był kąt do powierzchni, kąt do normalnej wyniósłby 40° i odpowiedź byłaby inna.

W granicznym przypadku promień załamany miałby β = 90°, a więc sin β = 1. Dopiero wstawienie tego do prawa załamania uzasadnia wzór na αg. Otrzymany sinus powinien być bezwymiarowy.

Granica z powietrzem

Światło biegnie z większego n do mniejszego, więc całkowite wewnętrzne odbicie jest możliwe. Kąt graniczny spełnia sin α_g = 1/1,5 = 2/3, zatem α_g ≈ 41,81°.

Podany kąt 50° jest większy od granicznego.

Odpowiedź: kąt graniczny wynosi około 41,8°; wystąpi całkowite wewnętrzne odbicie.

Próba zwykłego wyznaczenia kąta załamania dałaby sin β = 1,5 sin 50° ≈ 1,15. Sinus nie może być większy od jedności. To nie problem z kalkulatorem, lecz informacja, że w tych warunkach nie ma propagującego promienia załamanego w powietrzu.

Granica z wodą

Teraz sin αg = 1,33/1,5, więc αg ≈ 62,46°. Podane 50° jest mniejsze od granicznego: całkowitego odbicia nie będzie. Promień załamany może się rozchodzić, a jego kąt spełnia sin β = 1,5 sin 50°/1,33 ≈ 0,864, czyli β ≈ 59,76°.

Kąt po stronie wody jest większy od 50°, zgodnie z przejściem do mniejszego n. Część energii nadal może się odbić; brak całkowitego odbicia nie oznacza automatycznie braku jakiegokolwiek odbicia. Wynik pokazuje, dlaczego trzeba znać oba ośrodki.

Odbicie i kąty do normalnej

Na granicy szkło–powietrze kąt odbicia wynosi 50°, tak jak kąt padania. Mierzymy oba od normalnej; nie jest to 50° od powierzchni a kąta odbicia nie utożsamiamy z kątem między obydwoma ramionami toru światła.

Światłowód: kąt do osi to nie kąt padania

Normalna do bocznej granicy prostego włókna jest prostopadła do osi. Dlatego α = 90° − 15° = 75°. Dla pierwszego płaszcza sin αg = 1,40/1,50 = 0,9333…, stąd αg ≈ 68,96°. Promień spełnia oba warunki: biegnie od większego n do mniejszego oraz pada pod kątem większym od granicznego. Odbicie kieruje go z powrotem do rdzenia, a kąt odbicia również wynosi 75°.

Po zmianie płaszcza sin αg = 1,48/1,50 = 0,9867…, więc αg ≈ 80,63°. Teraz 75° < 80,63°: całkowitego odbicia nie będzie, chociaż rdzeń nadal ma większe n. Część światła może przejść do płaszcza. Kontrola: 1,50 sin 75° ≈ 1,449 mieści się pomiędzy 1,40 i 1,48. Przy tym samym promieniu pierwsza granica nie dopuszcza propagującego załamania, a druga je dopuszcza.

Jak sprawdzić zmianę płaszcza bez ponownego liczenia wszystkich kątów?

W części światłowodowej zadania tor wewnątrz rdzenia pozostaje ustalony. Z warunku sin α > nₚ/nᵣ i α = 90° − θ wynika bezpośrednio:

n_p\lt n_r\cos\theta=1{,}50\cos15^\circ\approx1{,}4489.

Wartość 1,40 leży poniżej tej granicy, a 1,48 powyżej. Jest to niezależna kontrola wcześniejszych porównań z kątami granicznymi. Nie trzeba przy tym porównywać zaokrąglonych wartości 75° i 80,63°. Gdyby nₚ wynosiło dokładnie 1,50 cos 15°, otrzymalibyśmy promień załamany wzdłuż granicy, a nie przypadek ostrej nierówności α > αg.

Wykres pozwala też odwrócić pytanie. Dla nₚ = 1,40 największy graniczny kąt wewnętrzny do osi wynosi arccos(1,40/1,50) ≈ 21,04°. Dla nₚ = 1,48 jest to tylko około 9,37°. Promień pod 15° mieści się w pierwszym zakresie, ale już nie w drugim. Jeśli interesuje nas kąt wiązki przed wejściem do włókna, potrzebujemy jeszcze prawa załamania na jego czole; nie wolno uznać 21,04° za kąt wejścia z powietrza.

Dla pierwszego płaszcza zapas kąta padania na boczną granicę wynosi około 75° − 68,96° = 6,04°. To zapas kąta lokalnego, nie dopuszczalny kąt zgięcia całego przewodu ani promień jego krzywizny. Do obliczenia skutków zginania potrzebna byłaby geometria zakrzywionego włókna i toru promienia.

Powiązana teoria

Załamanie światła i całkowite wewnętrzne odbicie

Dalsza lektura

Materiał referencyjny