Interferencja — zadanie: odstęp prążków i trzeci rząd

Rozwiązanie

Szkic i numeracja prążków

Środek ekranu ma y = 0 i numer m = 0. Po prawej kolejne maksima mają numery 1, 2, 3; po lewej −1, −2, −3. Szukamy odległości trzeciego maksimum od środka, a nie szerokości między dwoma prążkami trzeciego rzędu.

Warunek zgodnych faz to Δr = mλ. W dalekim polu Δr ≈ d sin θ, a małe kąty pozwalają wstawić sin θ ≈ y/L. Stąd dostajemy yₘ = mλL/d. Każdy nowy numer m zmienia położenie o λL/d. Milimetry i nanometry najpierw przeliczamy na metry, żeby nie zgubić trzech rzędów wielkości.

Obliczenia dla pierwotnego układu

Zamieniamy d = 3,0 · 10⁻⁴ m i λ = 6,0 · 10⁻⁷ m. Odstęp wynosi Δy = λL/d = 6,0 · 10⁻⁷ · 2,0/(3,0 · 10⁻⁴) = 0,0040 m.

Położenie trzeciego maksimum ma wartość |y₃| = 3Δy = 0,012 m.

Odpowiedź: odstęp 4,0 mm; trzeci rząd znajduje się 12 mm od środka, po każdej stronie.

Dla trzeciego rzędu |y|/L = 0,006, więc zastosowanie przybliżenia małych kątów jest uzasadnione. Odległość pomiędzy maksimami +3 i −3 wyniosłaby 24 mm; nie o tę odległość pytano.

Zmiana geometrii i rozpoznanie minimum

Po podwojeniu d odstęp prążków maleje z 4 do 2 mm, a trzecie maksimum ma |y₃| = 6 mm. Większe rozstawienie szczelin daje tę samą różnicę dróg przy mniejszym kącie.

W pierwotnym układzie y = 2 mm leży w połowie między centralnym maksimum a maksimum pierwszego rzędu. Różnica dróg wynosi wtedy około d · y/L = 3 · 10⁻⁷ m = λ/2, więc mamy minimum. Ten rachunek sprawdza, że nie pomyliliśmy odstępu jasny–jasny z jasny–ciemny.

Kontrola dokładności wyniku 12 mm

Użyliśmy przybliżenia małego kąta: sin θ ≈ tan θ. Zachowajmy nadal warunek dalekiego pola d sin θ = mλ, ale położenie na ekranie obliczmy z dokładnej zależności trygonometrycznej y = L tan θ. Eliminując kąt, dostajemy:

y_m=\frac{Lm\lambda}{\sqrt{d^2-m^2\lambda^2}},\qquad |m\lambda|\lt d.

Dla m = 3 iloraz mλ/d wynosi 0,006. Dokładniejsze przeliczenie kąta daje y₃ ≈ 12,000216 mm zamiast 12 mm. Różnica to tylko około 0,216 µm, czyli 0,0018% wartości przybliżonej. Zaokrąglenie wyniku do 12 mm jest zatem w tym zadaniu w pełni uzasadnione.

Przesuńmy się myślowo do rzędu m = 50 przy tych samych d, λ oraz L. Wtedy mλ/d = 0,1, a y₅₀ ≈ 201,008 mm zamiast 200 mm. Różnica wynosi już około 1,008 mm, czyli 0,504% wartości przybliżonej. Nie jest to poprawka zależna od jednostki, lecz od wielkości kąta. Na wykresie porównujemy iloraz obu wyników; odległość L się w nim skraca.

Słowo „dokładniejsze” ma tu określony zakres. Poprawiliśmy przeliczenie kąta na współrzędną ekranu, nadal stosując dalekopolowe przybliżenie różnicy dróg. Nie uwzględniliśmy skończonej szerokości szczelin ani obwiedni dyfrakcyjnej, która może utrudnić zobaczenie odległych prążków. Wykres błędu geometrycznego nie jest więc obietnicą widoczności wszystkich narysowanych rzędów.

Powiązana teoria

Interferencja światła i doświadczenie Younga

Dalsza lektura

Materiał referencyjny