Energia relatywistyczna, pęd i przemiana masy w energię

Potrzebne wiadomości: Energia spoczynkowa, pęd, współczynnik gamma.

Energia spoczynkowa nie znika w bilansie ruchu

Dla cząstki o niezmienniczej masie m energia całkowita wynosi E = γmc². Gdy cząstka spoczywa, pozostaje E₀ = mc². Energia kinetyczna to nadwyżka ponad tę wartość: Eₖ = (γ − 1)mc². Utożsamienie E z Eₖ doliczyłoby energię spoczynkową do ruchu.

Pęd wynosi p = γmv. Obie wielkości łączy relacja:

E^2=p^2c^2+m^2c^4.

Nie trzeba wprowadzać zmiennej „masy relatywistycznej”. Masa m pozostaje niezmiennicza, a wzrost energii i pędu opisuje γ. Dla małych v rozwinięcie γ ≈ 1 + v²/(2c²) daje Eₖ ≈ mv²/2.

Przykład z energią i pędem

Cząstka ma E₀ = 100 MeV i γ = 1,25. E = 125 MeV, Eₖ = 25 MeV, a pc = √(125² − 100²) MeV = 75 MeV. Z v/c = pc/E dostajemy 0,60. Wszystkie trzy rachunki są spójne. Zastosowanie klasycznej energii przy tej samej szybkości dałoby 18 MeV, co pokazuje skalę niedokładności.

Foton nie jest masywną cząstką z v podstawionym jako c

Dla fotonu m = 0 i E = pc. Nie podstawiamy jednocześnie m = 0 i nieskończonego γ do wzoru masywnej cząstki. Masywnego obiektu nie można rozpędzić do c skończonym nakładem energii w tym opisie; E rośnie bez ograniczenia przy zbliżaniu v do c.

Anihilacja: energia i pęd naraz

Elektron i pozyton z pomijalną energią kinetyczną w układzie środka pędu mają razem około 1022 keV energii i zerowy pęd. Dwa fotony mogą nieść po 511 keV w przeciwnych kierunkach: energie się dodają, pędy znoszą. Jeden foton 1022 keV miałby pęd E/c różny od zera, więc nie spełniłby obu warunków.

Kontrast daje para mająca w tym samym układzie łącznie 200 keV energii kinetycznej. Jeśli końcowo powstaną dwa fotony, każdy będzie miał 611 keV, nadal w przeciwnych kierunkach. Nie wolno zgubić początkowej energii ruchu. W innym układzie odniesienia fotony nie muszą mieć równych energii.

Tworzenie pary także wymaga pędu

Pojedynczy foton w pustej przestrzeni nie może sam zamienić się w parę elektron–pozyton: jego masa niezmiennicza jest zerowa, a układu masywnej pary dodatnia. Może uczestniczyć dodatkowe ciało przyjmujące odrzut lub drugi foton. Sama energia przekraczająca 1,022 MeV nie jest pełnym warunkiem procesu. Przy udziale jądra dokładny próg obejmuje odrzut, a dla dwóch fotonów istotny jest także kąt między ich kierunkami.

Zadania do tego tematu

• Energia kinetyczna przy gamma równym dwa
• Dwa fotony po anihilacji pary w spoczynku
• Dlaczego samo przekroczenie progu masowego nie wystarcza?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny