Stałość c, czas własny i względność jednoczesności

Potrzebne wiadomości: Układ inercjalny, prędkość, pierwiastek kwadratowy.

Zdarzenia i zegary przed rachunkiem

Szczególna teoria względności porównuje pomiary w układach inercjalnych, czyli poruszających się względem siebie jednostajnie prostoliniowo. Prawa fizyki mają w nich taką samą postać, a szybkość światła w próżni wynosi c dla każdego obserwatora. Utrzymanie obu zasad wymaga zmiany klasycznych relacji między czasem, przestrzenią i prędkością.

Zegar świetlny wyjaśnia czynnik γ

Wyobraźmy sobie impuls odbijający się między lustrami ustawionymi poprzecznie do ruchu zegara. W spoczynku zegara droga między lustrami ma długość h i trwa h/c. Dla obserwatora, względem którego zegar porusza się z v, światło leci po przekątnej, bo w trakcie lotu lustro się przesuwa. Nadal leci z c, więc dłuższa droga zajmuje więcej czasu.

Dla połowy cyklu geometria daje (cΔt/2)² = h² + (vΔt/2)². W układzie zegara h = cΔτ/2. Po przekształceniu:

\Delta t=\gamma\Delta\tau,\qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

Δτ jest czasem własnym między emisją i powrotem impulsu do tego samego zegara. Wybieramy go na podstawie zdarzeń na trajektorii zegara, nie dlatego, że jest po prostu mniejszą liczbą.

Porównanie dwóch szybkości

Dla v = 0,60c mamy γ = 1,25: cztery sekundy czasu własnego odpowiadają pięciu sekundom w układzie laboratorium. Dla v = 0,80c współczynnik wynosi 5/3 i te same cztery sekundy odpowiadają około 6,67 s. Przy v dużo mniejszym od c γ jest bliskie jedności, dlatego codzienne rachunki zwykle odzyskują klasyczne przybliżenie.

Długość wymaga jednoczesnego pomiaru końców

Długość spoczynkowa L₀ jest mierzona w układzie pręta. Obserwator widzący jego ruch wzdłuż osi musi wyznaczyć oba końce jednocześnie we własnym układzie; uzyska L = L₀/γ. Dla L₀ = 15 m i v = 0,60c będzie to 12 m. Pręt nie uległ sprasowaniu we własnym układzie. Jednoczesność odległych zdarzeń zależy od układu, a zdjęcie zawiera dodatkowo różne czasy przelotu światła z obu końców.

Sprawdzenie stałej szybkości światła

Dla współliniowych ruchów prędkość w drugim układzie wynosi u′ = (u − V)/(1 − uV/c²). Podstawienie u = c daje c dla dowolnego |V| mniejszego od c. Dla zwykłej cząstki u = 0,80c i V = 0,50c otrzymujemy u′ = 0,30c/0,60 = 0,50c, nie klasyczne 0,30c. Ten sam przepis zachowuje limit propagacji sygnałów. Pozornie szybkie przesuwanie plamki lub wzoru nie dowodzi przesłania informacji szybciej od światła.

Zadania do tego tematu

• Długość spoczynkowa i pomiar końców jednocześnie
• Światło wysłane z poruszającej się platformy
• Który czas jest własny przy emisji i odbiorze impulsu w jednym zegarze?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny