Transformacja Lorentza: współrzędne zdarzeń i jednoczesny pomiar końców

Potrzebne wiadomości: Stałość szybkości światła, czas własny, skrócenie długości, układ inercjalny i przekształcanie równań. Punktem wyjścia jest lekcja „Stałość c, czas własny i względność jednoczesności”.

Najpierw zdarzenie, potem jego współrzędne

Zdarzeniem jest na przykład zarejestrowanie błysku przez konkretny detektor. W układzie S opisujemy je liczbami t, x, y, z. Czas t jest wskazaniem zegara znajdującego się w miejscu zdarzenia, należącego do sieci zsynchronizowanych zegarów S. Nie jest chwilą, w której odległy obserwator zobaczy błysk przez lunetę. Czas przelotu światła do obserwatora to osobne zagadnienie.

Układ S′ porusza się względem S ze stałą prędkością V wzdłuż dodatniej osi x. Osie są równoległe, a początki układów mijają się przy t = t′ = 0. Przyjmujemy |V| < c. Ten wybór ustala znaki: początek S′ ma w S współrzędną x = Vt, natomiast początek S porusza się w S′ w stronę ujemnych x′.

Przekształcamy miejsce i czas razem

Oznaczmy β = V/c i γ = 1/√(1 − β²). Transformacja Lorentza ma postać:

x'=\gamma(x-Vt),\qquad t'=\gamma\left(t-\frac{Vx}{c^2}\right),\qquad y'=y,\quad z'=z.

W pierwszym nawiasie odejmujemy dwie długości, w drugim dwa czasy. Składnik Vx/c² ma jednostkę sekundy. To on sprawia, że zegary odległe wzdłuż ruchu nie muszą być jednoczesne w obu układach. Zastąpienie t′ przez samo γt usuwałoby zależność od miejsca i dawało błędne wyniki dla ogólnego zdarzenia.

W rachunkach i na wykresach wygodnie używać ct, które ma tę samą jednostkę co x:

x'=\gamma(x-\beta ct),\qquad ct'=\gamma(ct-\beta x).

Możemy od razu sprawdzić dwie własności. Dla x = Vt otrzymujemy x′ = 0, zgodnie z ruchem początku S′. Dla promienia x = ct dostajemy x′ = ct′ = γ(1 − β)ct, więc ten sam promień nadal ma szybkość c. Są to kontrole równań, a nie pełne wyprowadzenie ich z postulatów.

Przykład z detektorem

Przyjmijmy w tym rachunku c = 3,00 · 10⁸ m/s, czyli 300 m/µs, oraz V = 0,60c. Zdarzenie ma x = 1200 m i t = 5,00 µs. Stąd ct = 1500 m i γ = 1,25. Zatem:

x'=1{,}25(1200-0{,}60\cdot1500)\,\mathrm m=375\,\mathrm m,

ct'=1{,}25(1500-0{,}60\cdot1200)\,\mathrm m=975\,\mathrm m,\qquad t'=3{,}25\,\mathrm{\mu s}.

Obie liczby odnoszą się do tego samego zdarzenia, a nie do jego późniejszej obserwacji. Detektor nie przesunął się fizycznie wskutek zapisania primów: zmieniliśmy układ, w którym opisujemy jego zadziałanie.

Powrót do S jest ważną kontrolą znaku

Transformację odwrotną otrzymujemy, zmieniając V na −V i zamieniając primy:

x=\gamma(x'+\beta ct'),\qquad ct=\gamma(ct'+\beta x').

Dla przykładu: x = 1,25(375 + 0,60 · 975) m = 1200 m oraz ct = 1,25(975 + 0,60 · 375) m = 1500 m. Użycie ponownie znaku minus przeniosłoby nas do kolejnego układu poruszającego się w tę samą stronę, zamiast odwrócić poprzednią zmianę.

Odległość zdarzeń nie zawsze jest długością przedmiotu

Dla pary zdarzeń transformujemy różnice: Δx′ = γ(Δx − VΔt) oraz Δt′ = γ(Δt − VΔx/c²). Jeśli odczyty obu końców pręta są jednoczesne w S, to Δt = 0, ale Δt′ = −γVΔx/c² na ogół nie znika. Różnica Δx′ dotyczy wtedy miejsc dwóch zdarzeń z różnych chwil S′.

Długość poruszającego się przedmiotu mierzymy przez wskazanie jego obu końców w tej samej chwili wybranego układu. Dlatego przy przejściu do innego układu może być potrzebna inna para zdarzeń na tych samych końcach. Samo przemnożenie dowolnej różnicy współrzędnych przez γ nie rozstrzyga zadania.

W granicy V → 0 mamy γ → 1 i odzyskujemy te same współrzędne. Dla małych V/c w zwykłych warunkach przybliżenie Galileusza często wystarcza, lecz poprawkę VΔx/c² trzeba porównać z wymaganą dokładnością czasu. Duża odległość może uczynić ją istotną mimo niewielkiego V/c.

Zadania do tego tematu

• Dwa zadziałania detektorów w drugim układzie
• Jednoczesne błyski i znak różnicy czasu
• Dwie różne pary zdarzeń na końcach tego samego pręta

Dalsza lektura

Materiał referencyjny