Jak z pomiarów fotoefektu wyznaczyć stałą Plancka i pracę wyjścia?

Potrzebne wiadomości: Bilans energii w fotoefekcie, elektronowolt, napięcie hamowania, funkcja liniowa i nachylenie wykresu.

Co mierzymy i co oznacza dodatnie Uₕ?

Oświetlamy tę samą powierzchnię światłem monochromatycznym o kolejnych częstotliwościach f. Dla każdej częstotliwości powyżej progu zwiększamy hamującą różnicę potencjałów aż do zaniku fotoprądu. Uₕ oznacza jej dodatnią wartość, choć potencjał kolektora jest wtedy niższy od potencjału emitera. Ładunek elektronu wynosi −e, gdzie e>0. Pole elektryczne wykonuje nad elektronem pracę −eUₕ, zmniejszając jego energię kinetyczną.

W idealnym modelu jednofotonowym zachodzą dwa równania: Eₖ,max=hf−W oraz eUₕ=Eₖ,max. Po połączeniu i podzieleniu przez dodatnie e:

U_h=\frac{h}{e}f-\frac{W}{e}=af+b,\qquad a=\frac{h}{e},\quad b=-\frac{W}{e}.

W to praca wyjścia. Zakładamy ten sam stan powierzchni podczas całej serii, znaną częstotliwość, skorygowane wskazanie napięcia i brak istotnych napięć kontaktowych. Jeżeli te warunki nie są spełnione, interpretacja wyrazu wolnego wymaga dodatkowej kalibracji.

Dlaczego dwie częstotliwości pozwalają oddzielić h od W?

Dla dwóch pomiarów zapisujemy eUₕ,₂=hf₂−W i eUₕ,₁=hf₁−W. Odejmujemy całe drugie równanie od pierwszego. Ten sam składnik −W znika:

e(U_{h,2}-U_{h,1})=h(f_2-f_1),\qquad h=e\frac{\Delta U_h}{\Delta f}.

To nie jest iloraz Uₕ/f z jednego punktu. Prosta zwykle nie przechodzi przez początek układu. Dopiero różnice usuwają nieznaną pracę wyjścia. Jednostka nachylenia wynosi V/Hz=V·s, a po pomnożeniu przez e otrzymujemy C·V·s=J·s.

Przykładowa seria i kontrola trzeciego punktu

Rozważmy dane dydaktyczne, a nie zapis wykonanego tu doświadczenia. Przy częstotliwościach 6,00·10¹⁴, 7,00·10¹⁴ i 8,00·10¹⁴ Hz otrzymano odpowiednio 0,48, 0,89 i 1,31 V. Z punktów skrajnych:

a=\frac{1{,}31-0{,}48}{(8{,}00-6{,}00)\cdot10^{14}}\ \mathrm{V\,s}=4{,}15\cdot10^{-15}\ \mathrm{V\,s}.

Dla e≈1,602·10⁻¹⁹ C otrzymujemy h≈6,6483·10⁻³⁴ J·s. Przewidziany wynik dla środkowej częstotliwości to 0,48 V+(4,15·10⁻¹⁵ V·s)(1,00·10¹⁴ Hz)=0,895 V. Odczyt 0,89 V różni się o −0,005 V. Sama niewielka różnica nie przesądza o zgodności: trzeba porównać ją z niepewnością pomiaru. Więcej punktów umożliwia dopasowanie prostej i ocenę reszt, czyli różnic między odczytami a dopasowaniem.

Jak odczytać pracę wyjścia i próg?

Mając nachylenie, wracamy do jednego równania. Z pierwszego punktu W/e=af₁−Uₕ,₁=(4,15·10⁻¹⁵)(6,00·10¹⁴) V−0,48 V=2,01 V, czyli W=2,01 eV. Liczbowa zgodność wynika z definicji eV jako energii e·1 V.

Próg to miejsce, w którym przedłużona prosta osiąga Uₕ=0:

f_0=-\frac{b}{a}=\frac{W}{h}\approx4{,}84\cdot10^{14}\ \mathrm{Hz}.

Dla f<f₀ nie dopisujemy do tabeli fikcyjnych punktów Uₕ=0. Nie ma wtedy jednofotonowej fotoemisji, więc nie można wykonać tego samego pomiaru zaniku fotoprądu. Zerowe wskazanie prądu może także oznaczać wyłączone światło albo niesprawny układ. Warunki obserwacji trzeba sprawdzić osobno.

Skala osi i błąd zera

Jeżeli oś pozioma pokazuje x=f/(10¹⁴ Hz), nachylenie wobec x wynosi w przykładzie 0,415 V na jednostkę x. Nie wolno nazwać tej liczby h/e bez przywrócenia czynnika 10¹⁴ Hz. Otrzymujemy a=0,415 V/(10¹⁴ Hz)=4,15·10⁻¹⁵ V·s.

Stały dodatni błąd wskazania δU daje U_odczyt=Uₕ+δU. Różnice napięć i nachylenie pozostają takie same, lecz wyraz wolny rośnie. Bez korekty wyznaczylibyśmy zbyt małą pracę wyjścia. Zmienny błąd zależny od częstotliwości może zniekształcić również nachylenie. Kalibracja zera nie jest tym samym co zbadanie wszystkich błędów systematycznych.

Co w tym doświadczeniu znaczy „wyznaczyć h”?

W obecnym SI liczbowa wartość h=6,62607015·10⁻³⁴ J·s jest ustalona definicyjnie. Szkolne wyznaczanie h z fotoefektu sprawdza zgodność pomiarów, modelu i przyrządów z tą wartością; nie zmienia definicji kilograma. Nasze zaokrąglone dane dały wynik wyższy o około 0,34%. Różnica nie jest jeszcze oszacowaniem niepewności.

Spróbuj sam: w wirtualnym doświadczeniu fotoelektrycznym zapisz dwie częstotliwości ponad progiem. Potem zwiększ W o 0,30 eV i powtórz serię. Każde Uₕ spadnie o 0,30 V, ale nachylenie pozostanie takie samo, o ile obie próby nadal przekraczają próg.

Dlaczego zakres częstotliwości ma znaczenie?

Jeżeli każdy z dwóch niezależnych odczytów napięcia ma standardową niepewność 0,01 V, to u(ΔU)=√2·0,01 V≈0,0141 V. Przy dokładnej różnicy częstotliwości 2,00·10¹⁴ Hz dostajemy u(a)=u(\Delta U)/\Delta f\approx7{,}07\cdot10^{-17}\,\mathrm{V\,s}. Dla a=4,15·10⁻¹⁵ V·s odpowiada to około 1,70%. Dwukrotnie szerszy przedział częstotliwości zmniejszyłby ten składnik dwukrotnie, o ile jakość odczytów i stan powierzchni pozostałyby takie same. Wspólny błąd zera znosi się w różnicy, lecz niepewny mnożnik skali napięcia już nie.

Zadania do tego tematu

• Stała Plancka i praca wyjścia z trzech odczytów
• Dwie powierzchnie: co mówi wspólne nachylenie?
• Stały błąd zera: poprawne nachylenie, błędna praca wyjścia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny