Gdy wykres prędkości przecina zero: pola, znaki i przyspieszenie

Potrzebne wiadomości: Wykres położenia, prędkość ze znakiem, pole trójkąta i trapezu.

Szkoła podstawowa: zwrot i szybkość

Najpierw wybierz zwrot dodatni osi, na przykład w prawo. Prędkość zapisana ze znakiem minus oznacza wtedy ruch w lewo. Szybkość mówi, ile metrów ciało pokonuje w sekundę, i nie jest ujemna: przy prędkości −4 m/s wynosi 4 m/s. Na wykresie zaznacz czas poziomo w sekundach, a prędkość pionowo w m/s. Punkt poniżej osi czasu oznacza ruch w zwrocie ujemnym, nie ujemną drogę.

Jeżeli w ciągu sekundy prędkość zmienia się z −2 do −4 m/s, jej zmiana wynosi −2 m/s, a przyspieszenie −2 m/s². Jednocześnie szybkość rośnie z 2 do 4 m/s: ciało rozpędza się w lewo. Do takiego odczytu wystarczą liczby ze znakami i porównanie kolejnych punktów. Dalsze części o polach pod wykresem i parabolach są rozszerzeniem dla szkoły średniej.

Nachylenie i pole mówią o różnych rzeczach

Dla liniowego odcinka v_x(t) przyspieszenie jest nachyleniem: a_x=\Delta v_x/\Delta t. Jednostką jest (m/s)/s, czyli m/s². Pole ze znakiem między wykresem i osią czasu daje przemieszczenie. Pole pod osią liczymy ujemnie. Drogę wyznaczamy przez dodanie bezwzględnych pól, dzieląc przebieg w punktach zmiany zwrotu.

Zatrzymanie nie kończy automatycznie modelu

Niech v_x=6-2t w jednostkach SI, dla 0≤t≤5 s. Przyspieszenie wynosi −2 m/s². Do 3 s ciało zwalnia w dodatnim zwrocie, przy 3 s chwilowo stoi, potem zwiększa szybkość w zwrocie ujemnym. Dodatnie pole ma 9 m, ujemne −4 m. Przemieszczenie wynosi 5 m, droga 13 m. Samo podstawienie końca przedziału do wzoru na przemieszczenie nie daje drogi po zawróceniu.

Wykres położenia jest w tym modelu parabolą x=x_0+6t-t^2. Ma maksimum po 3 s. Odwrócenie zwrotu nie wymaga zmiany znaku przyspieszenia. Słowo „opóźnienie” stosujemy ostrożnie: dodatnia wartość opóźnienia opisuje zmniejszanie szybkości na odpowiednim etapie, nie uniwersalną ujemną składową wektora.

Zero przemieszczenia wynika ze znoszenia pól. Droga 8 m nie znika, gdy ciało wraca. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Jeden wykres pozwala odpowiedzieć na kilka różnych pytań

Wysokość punktu v(t) podaje prędkość ze znakiem, nachylenie przyspieszenie, a pole przemieszczenie. Te trzy operacje mają inne jednostki: m/s, m/s² i m. Samo hasło „odczytaj z wykresu” jest więc niepełne. Najpierw trzeba ustalić, czy potrzebujemy wartości, zmiany na jednostkę czasu, czy sumowanego przemieszczenia.

Przykład: powrót do miejsca startu

Prędkość maleje liniowo od +4 do −4 m/s przez 4 s. Nachylenie to(−4−4)/4=−2 m/s². Zero wypada po 2 s. Do tej chwili dodatni trójkąt ma pole 4 m, po niej ujemny ma −4 m. Suma zero oznacza powrót do początkowego położenia. Droga jest sumą modułów 8 m: przez cały czas poza jedną chwilą ciało się poruszało.

W pierwszych 2 s szybkość maleje, w ostatnich 2 s rośnie. Przyspieszenie ma jednak cały czas ten sam ujemny znak. Rozpędzanie występuje, gdy prędkość i przyspieszenie mają zgodne zwroty; hamowanie, gdy przeciwne. Znaczenie znaku można przećwiczyć w laboratorium wykresów ruchu, zmieniając osobno prędkość początkową i przyspieszenie.

Przykład: od tabeli położeń do modelu

Dla t=0,1,2,3 s odczytano x=0,1,4,9 m. Przy założonym stałym przyspieszeniu porównujemy z x=x₀+v₀t+at²/2. Pasuje x=t², więc x₀=0,v₀=0,a=2 m/s². Prędkość wynosi 2t, od 0 do 6 m/s. Nachylenie paraboli rośnie, choć wartości położeń nie powinny być łączone odcinkami, jeśli przyjęto ciągły ruch jednostajnie przyspieszony.

Cztery próbki same nie dowodzą, że między nimi ruch był dokładnie paraboliczny. Można skonstruować inne gładkie funkcje przechodzące przez te same punkty. Tutaj stałość przyspieszenia jest jawnie podana i pozwala wybrać model. To ważne rozróżnienie między dopasowaniem liczb do wzoru a dowodem fizycznego charakteru ruchu.

Przykład: liczby coraz bardziej ujemne

Prędkości −1,−3,−5 m/s w odstępach 1 s odpowiadają stałemu −2 m/s². Szybkości to 1,3,5 m/s, więc ciało rozpędza się w lewo przy osi dodatniej w prawo. Przez pierwszą sekundę przemieszczenie wynosi średnio −2 m/s razy 1 s, czyli −2 m, przez drugą −4 m. Łącznie −6 m, a droga 6 m, bo nie było zmiany zwrotu.

Gdyby odwrócić oś, wszystkie trzy prędkości i przyspieszenie zmieniłyby znaki. Opis fizyczny pozostałby ten sam. Dlatego określenie „ujemne przyspieszenie to zwalnianie” nie może być ogólną regułą: sam wybór osi nie powinien zamieniać rozpędzania w hamowanie.

Sprawdź się przez położenie

Dla v=4−2t przemieszczenie od początku wynosi 4t−t². Po 2 s jest 4 m, po 4 s zero. Parabola ma maksimum przy zerowej prędkości. Jej maksimum nie jest zerowym przyspieszeniem: przyspieszenie nadal wynosi −2 m/s². Wykres położenia, prędkości i przyspieszenia opisuje to samo zdarzenie trzema różnymi wielkościami.

Zadania do tego tematu

• Powrót do punktu startu przy niezerowej drodze
• Przyspieszenie odczytane z tabeli położeń
• Ujemna prędkość i ujemne przyspieszenie: co rośnie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny