Przyspieszenie odczytane z tabeli położeń

Rozwiązanie

Korzystamy z jawnie przyjętego modelu

Dane 0,1,4,9 m w chwilach 0,1,2,3 s odpowiadają x=t². Porównujemy z x=x₀+v₀t+at²/2. Wyraz stały 0 daje x₀=0, brak liniowego v₀=0, a współczynnik przy t² równy 1 oznacza a=2 m/s².

Obliczamy zmiany położenia w kolejnych sekundach

W treści zadania przyjęto stałe przyspieszenie. Korzystamy z tego założenia, aby opisać także ruch między podanymi chwilami. Sama tabela czterech położeń nie wystarczyłaby do ustalenia jedynego możliwego przebiegu ruchu.

Kolejne odczyty dzieli ten sam czas: \Delta t=1\,\mathrm{s}. Odejmujemy położenie na początku każdego przedziału od położenia na jego końcu:

\Delta x_1=(1-0)\,\mathrm{m}=1\,\mathrm{m}

\Delta x_2=(4-1)\,\mathrm{m}=3\,\mathrm{m}

\Delta x_3=(9-4)\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{m}

W każdej następnej sekundzie zmiana położenia jest o 2 m większa. Aby przeliczyć tę różnicę na przyspieszenie, używamy wzoru na położenie w ruchu jednostajnie zmiennym. Dla pierwszej i drugiej sekundy otrzymujemy odpowiednio:

\Delta x_1=v_{0x}\Delta t+\frac12 a_x(\Delta t)^2

\Delta x_2=v_{0x}\Delta t+\frac32 a_x(\Delta t)^2

Drugi wzór wynika z odjęcia położenia w chwili \Delta t od położenia w chwili 2\Delta t. Gdy odejmiemy oba przyrosty, składniki z prędkością początkową się skrócą:

\Delta x_2-\Delta x_1=a_x(\Delta t)^2

a_x=\frac{\Delta x_2-\Delta x_1}{(\Delta t)^2}

a_x=\frac{(3-1)\,\mathrm{m}}{(1\,\mathrm{s})^2}=2\,\mathrm{m/s^2}

Para przyrostów 3 m i 5 m daje taki sam wynik. Dane są więc zgodne z przyjętym modelem. Jednostka m/s² pokazuje też, dlaczego dzielimy różnicę przyrostów przez kwadrat odstępu czasu, a nie przez sam czas.

Wyznaczamy prędkość początkową

Z pierwszego odczytu mamy x_0=0\,\mathrm{m}. W pierwszej sekundzie ciało przemieściło się o 1 m. Podstawiamy wyznaczone przyspieszenie do pierwszego wzoru:

1\,\mathrm{m}=v_{0x}\cdot1\,\mathrm{s}+1\,\mathrm{m}

v_{0x}=\frac{1\,\mathrm{m}-1\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{s}}=0\,\mathrm{m/s}

Początkowego spoczynku nie założyliśmy dodatkowo: wynika z danych w modelu stałego przyspieszenia. Wzory z jawnymi jednostkami, ważne w przedziale od 0 do 3 s, mają postać:

x(t)=(1\,\mathrm{m/s^2})t^2

v_x(t)=(2\,\mathrm{m/s^2})t

a_x(t)=2\,\mathrm{m/s^2}

Trzy zgodne wykresy

Położenie jest parabolą, prędkość prostą v=2t od 0 do 6 m/s, przyspieszenie poziomą linią 2 m/s². Połączenie położeń odcinkami stworzyłoby inny model o stałych prędkościach na krótkich etapach.

Wynik

Dane spełniają x=t². Porównanie z x=x₀+v₀t+a_xt²/2 daje x₀=0, v₀=0 i a_x=2 m/s². Zatem v_x=2t. Rysujemy parabolę przez podane punkty, prostą prędkości od 0 do 6 m/s i poziomą linię przyspieszenia 2 m/s². Bez założenia stałego przyspieszenia cztery próbki nie wyznaczałyby jednoznacznie zachowania pomiędzy nimi.

Kontrola pól i różnic

Pole trójkąta pod v(t) od 0 do 3 s wynosi 3·6/2=9 m, zgodnie z końcowym położeniem. Nachylenie v(t) daje 2 m/s². Te dwie kontrole wiążą wszystkie trzy rysunki.

Ograniczenie: same cztery próbki nie dowodzą stałego przyspieszenia pomiędzy nimi. Mogłyby pasować do wielu innych funkcji. Tutaj stałość podano w treści jako warunek, dlatego możemy jednoznacznie wybrać parabolę w tej klasie modeli. Nie należy przenosić takiej pewności na dowolne pomiary bez oceny modelu.

Nie mylimy prędkości średniej z chwilową

Dzielenie kolejnych przyrostów 1 m, 3 m i 5 m przez 1 s daje prędkości średnie w trzech przedziałach: 1 m/s, 3 m/s i 5 m/s. Nie są to prędkości chwilowe na końcach tych przedziałów. Z prostej v_x(t) odczytujemy na końcach kolejnych sekund 2 m/s, 4 m/s i 6 m/s.

Przy stałym przyspieszeniu średnia prędkość w przedziale jest równa prędkości w jego środku. Tutaj wartości 1 m/s, 3 m/s i 5 m/s występują w chwilach 0,5 s, 1,5 s i 2,5 s. To dodatkowa kontrola, czy tabelę położeń i wykres prędkości odczytaliśmy spójnie.

Powiązana teoria

Gdy wykres prędkości przecina zero: pola, znaki i przyspieszenie

Dalsza lektura

Materiał referencyjny