Przyspieszenie na zakrzywionym torze: zmiana szybkości i kierunku

Potrzebne wiadomości: Prędkość kątowa, przyspieszenie dośrodkowe, wektory prostopadłe.

Rozkład na kierunek styczny i normalny

Dla ruchu po okręgu o stałym promieniu R składowa styczna wynosi a_t=dv/dt=\alpha R. Odpowiada za zmianę wartości prędkości. Składowa normalna, ku środkowi okręgu, ma wartość a_n=v^2/R=\omega^2R i zmienia kierunek wektora prędkości. Składowe są prostopadłe.

Wartość całkowitego przyspieszenia to a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}. Nie dodajemy wartości wprost. Przy stałej szybkości aₜ=0, ale aₙ może być niezerowe. W chwili ruszania od spoczynku aₙ=0, choć składowa styczna może już działać.

Przykład i siły

Punkt porusza się po okręgu R=2 m, ma v=4 m/s oraz aₜ=6 m/s². Składowa normalna wynosi 8 m/s², a całkowita 10 m/s². Wypadkowa siła ma ten sam kierunek co przyspieszenie, a nie co prędkość. Przy hamowaniu składowa styczna zmienia zwrot; normalna nadal jest ku środkowi.

Na zakręcie różne rzeczywiste siły mogą dostarczać tych składowych. Nie dodajemy do nich jeszcze osobnej „siły dośrodkowej”: to nazwa radialnej wypadkowej. Dla toru innego niż okrąg R oznacza lokalny promień krzywizny, a jego zmiana wymaga dodatkowych danych. Przykłady są modelami, nie zaleceniami szybkiej jazdy.

Prędkość może zmieniać się na dwa sposoby

Gdy samochód przyspiesza na prostym odcinku, zmienia wartość prędkości. Gdy jedzie ze stałą szybkością po zakręcie, zmienia jej kierunek. Na zakręcie może robić obie rzeczy jednocześnie. Przyspieszenie jako zmiana wektora prędkości musi uwzględnić oba składniki. Sprowadzenie całego problemu do v²/R pomija rozpędzanie albo hamowanie, a sprowadzenie go do samej zmiany szybkości pomija skręcanie.

W danej chwili wybieramy dwa prostopadłe kierunki: styczny do toru oraz normalny, ku lokalnemu środkowi krzywizny. Wektor prędkości jest styczny. Przyspieszenie styczne a_t opisuje zmianę szybkości, normalne a_n zmianę kierunku. Są to kierunki lokalne, które mogą obracać się wraz z położeniem punktu. Stałe wartości ich składowych nie muszą oznaczać stałego wektora przyspieszenia w osiach sali.

Skąd v²/R?

Rozpatrzmy dwa bliskie punkty na okręgu przy tej samej szybkości v. Wektory prędkości różnią się kierunkiem o mały kąt Δφ. Ich różnica ma w granicy wartość vΔφ i zwrot ku środkowi. Ponieważ Δφ/Δt=v/R, otrzymujemy a_n=v²/R. Nawet gdy szybkość dodatkowo się zmienia, ta część zmiany kierunku pozostaje obecna. Osobno dochodzi a_t=dv/dt.

Dla punktu koła o stałym R mamy v=ωR. Stąd a_t=αR oraz a_n=ω²R. Wzór a_t=αR zakłada stałą odległość od osi; przy przesuwaniu się punktu wzdłuż promienia pojawiłyby się dodatkowe człony. Wartość a_n jest nieujemna, a zwrot zawsze do środka. Składowa styczna może być zgodna z prędkością lub przeciwna, zależnie od tego, czy punkt się rozpędza, czy zwalnia.

Przykład: składanie trzech i czterech

Jeśli a_t=3 m/s² i a_n=4 m/s², wartość całkowita wynosi √(3²+4²)=5 m/s², nie 7. To przeciwprostokątna trójkąta prostopadłych wektorów. Kąt β liczony od kierunku normalnego ku stycznemu spełnia tanβ=a_t/a_n=3/4, więc β≈36,87°. Jeżeli kąt liczymy od stycznej, iloraz i wartość kąta będą inne:4/3 oraz 53,13°.

Przy hamowaniu o tej samej wartości składowej stycznej całkowita wartość nadal wynosi 5 m/s², lecz wektor przechyla się w przeciwną stronę od normalnej. Sama dodatnia liczba 5 nie opisuje więc całego przyspieszenia. Rysunek strzałek albo zapis składowych jest konieczny, jeśli pytanie dotyczy kierunku siły wypadkowej lub zmiany ruchu.

Przykład: rozpędzana obręcz

Punkt na promieniu 0,50 m ma ω=4 rad/s i α=12 rad/s². Składowa styczna wynosi 6 m/s², normalna 8 m/s², a całkowita 10 m/s². Kąt od normalnej jest znowu arctan(6/8), czyli 36,87°. Prędkość liniowa 2 m/s pozwala sprawdzić normalną drugą drogą: v²/R=4/0,50=8 m/s².

Jeżeli przy tym samym α prędkość kątowa wzrośnie do 8 rad/s, a_t nadal wyniesie 6, ale a_n wzrośnie do 32 m/s². Wartość całkowita stanie się √1060≈32,56 m/s². Nie rośnie dokładnie cztery razy, ponieważ czterokrotnie wzrósł tylko jeden z dwóch składników. Kierunek coraz bardziej zbliża się do normalnej, choć rozpędzanie nadal trwa.

Rzeczywiste siły i ich składowe

Druga zasada Newtona daje sumę sił stycznych ma_t oraz sumę sił normalnych ma_n. „Siła dośrodkowa” nie jest dodatkową siłą, którą należy dopisać do ciężkości, napięcia linki czy tarcia. Jest nazwą ich wypadkowej składowej ku środkowi. W konkretnym zadaniu trzeba ustalić, jakie oddziaływania rzeczywiście występują i które ich składowe zapewniają wymagany ruch. Zależność między sumą wektorów a przyspieszeniem można sprawdzić w modelu bilansu sił.

Na dowolnym gładkim torze można lokalnie użyć promienia krzywizny, ale nie należy utożsamiać go z odległością od przypadkowo wybranego punktu. Dla prostej promień krzywizny dąży do nieskończoności i a_n zanika. Dla koła jest stały. W ostrym narożniku idealnego toru takie gładkie przybliżenie wymaga ostrożności; rzeczywisty ruch nie zmienia kierunku bez czasu i oddziaływania.

Sprawdź się na początku ruchu

Koło zaczyna obrót od spoczynku ze stałym niezerowym α. W pierwszej chwili ω=0, więc a_n=0, ale a_t=αR już jest niezerowe. Chwilę później normalna rośnie jak ω². Wniosek: ruch po okręgu nie oznacza, że całkowite przyspieszenie zawsze jest wyłącznie dośrodkowe. Taki opis jest kompletny dopiero przy stałej szybkości.

Uwaga na znak przyspieszenia stycznego

Wartość prędkości v jest nieujemna. Jeżeli styczną w każdej chwili kierujemy zgodnie z ruchem, składowa styczna wynosi dv/dt: jest dodatnia przy rozpędzaniu i ujemna przy hamowaniu. Gdy zamiast tego zachowujemy ustalony dodatni zwrot obrotu, używamy składowej v_t=Rω i a_t=Rα. Dla dodatniej ω oba opisy mają ten sam znak. Dla ujemnej ω zwrot stycznej zgodnej z ruchem jest przeciwny do ustalonego zwrotu obrotu. Nie wolno mieszać tych dwóch umów.

a_n=R\omega^2\geq0,\qquad |\vec a|=\sqrt{(R\alpha)^2+(R\omega^2)^2}.

Normalną kierujemy ku środkowi, niezależnie od znaku ω. Wyobraź sobie koło obracające się w ujemnym zwrocie i hamujące: wtedy ω<0, α>0, ale jego szybkość maleje. Sama dodatnia α nie oznacza więc zawsze rozpędzania. W zadaniach liczbowych poniżej ω i α są zgodne; przy zmianie znaku α odwracamy tylko styczną, a normalna pozostaje skierowana ku osi. Rysunek składowych rozstrzyga to wyraźniej niż samo słowo „dodatnie”.

Zadania do tego tematu

• Składowe trzy i cztery nie dają siedmiu
• Dwa razy większa prędkość kątowa przy stałym α
• Całkowite przyspieszenie rozpędzanego koła

Dalsza lektura

Materiał referencyjny