Całkowite przyspieszenie rozpędzanego koła

Rozwiązanie

Liczymy dwie składowe oddzielnie

Promień R=0,50 m jest stały. Przy ω=4 rad/s oraz α=12 rad/s² składowa styczna wynosi a_t=αR=6 m/s². Normalna wynosi a_n=ω²R=16·0,50=8 m/s². Pierwsza zmienia szybkość, druga kierunek prędkości.

Składamy wektory

Kierunki są prostopadłe, więc a=√(6²+8²)=10 m/s². Nie otrzymujemy 14 m/s², bo wartości nie działają w tej samej linii. Wypadkowa leży między styczną i kierunkiem ku osi. Kąt od normalnej spełnia tanβ=6/8=3/4.

Każdą składową obliczamy z jej własnej zależności

a_t=(12\,\mathrm{rad/s^2})(0{,}50\,\mathrm m)=6\,\mathrm{m/s^2},\qquad a_n=(4\,\mathrm{rad/s})^2(0{,}50\,\mathrm m)=8\,\mathrm{m/s^2},\qquad a=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m/s^2}=10\,\mathrm{m/s^2}.

Promień w pierwszym i drugim wzorze ma pierwszą potęgę; do kwadratu podnosimy tylko ω. Dopiero podczas obliczania długości sumy wektorów kwadratujemy obie składowe. Ten zapis pokazuje, gdzie dokładnie pojawiają się oba różne kwadraty.

Wynik

a_t=12\cdot0{,}50=6 m/s², a_n=4^2\cdot0{,}50=8 m/s². Całkowita wartość wynosi 10 m/s². Kierunek jest pomiędzy styczną a promieniem skierowanym do osi.

Kontrola drugą drogą

Prędkość liniowa punktu wynosi v=ωR=2 m/s. Wzór v²/R daje 4/0,50=8 m/s², zgodnie z normalną policzoną z ω. Jednostka αR to rad/s² razy metr, czyli m/s², gdy radian traktujemy jako bezwymiarowy kąt; jednostka ω²R prowadzi do tego samego wyniku.

Wariant: punkt w połowie promienia ma przy tych samych ω i α składowe 3 oraz 4 m/s², więc całkowitą wartość 5 m/s². Wszystkie trzy wartości maleją dwukrotnie, a kąt wypadkowej pozostaje ten sam. Wspólne ω nie oznacza jednakowego przyspieszenia liniowego wszystkich punktów obracającej się bryły.

Dodatkowa kontrola

Zmiana znaku α na −12 rad/s² przy zachowaniu dodatniej ω odwróciłaby styczną, ale nie normalną. Całkowita wartość nadal wynosiłaby 10 m/s², a punkt hamowałby zamiast się rozpędzać. Ta sama liczba opisująca przyspieszenie może więc odpowiadać dwóm różnym kierunkom; pełna odpowiedź musi zachować informację o składowych i ich zwrotach.

Powiązana teoria

Przyspieszenie na zakrzywionym torze: zmiana szybkości i kierunku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny