Składowe trzy i cztery nie dają siedmiu

Rozwiązanie

Rozpoznajemy prostopadłe kierunki

Składowa styczna 3 m/s² leży wzdłuż stycznej do toru. Normalna 4 m/s² jest do niej prostopadła i wskazuje środek krzywizny. Wartość ich sumy wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa, a nie przez zwykłe dodanie liczb.

Wartość i kąt od wskazanego kierunku

a=√(3²+4²)=5 m/s². Kąt β jest liczony od normalnej ku stycznej, więc bok naprzeciw tego kąta ma długość 3, a przyległy 4. Zatem tanβ=3/4. Gdyby potrzebna była wartość kąta, wyniosłaby około 36,87°.

Najpierw długość, potem kierunek wektora

a=\sqrt{(3\,\mathrm{m/s^2})^2+(4\,\mathrm{m/s^2})^2}=5\,\mathrm{m/s^2},\qquad \tan\beta=\frac{a_t}{a_n}=\frac34.

Kąt β zaznaczamy między normalną a wypadkową. W trójkącie naprzeciw niego leży a_t, a przy nim a_n. Iloraz ma te same jednostki w liczniku i mianowniku, więc tangens jest bezwymiarowy.

Wynik

Wartość to \sqrt{3^2+4^2}=5 m/s². Tangens kąta od kierunku normalnego ku stycznemu wynosi 3/4. Suma 7 m/s² wymagałaby jednakowych kierunków, których tutaj nie ma.

Kontrola rysunku i znaków

Wypadkowa 5 jest większa od każdej składowej osobno, ale mniejsza od ich sumy 7. To oczekiwane dla wektorów prostopadłych. Odwrócenie zwrotu składowej stycznej podczas hamowania nie zmieniłoby wartości 5, lecz przechyliłoby wektor na drugą stronę normalnej.

Wariant: pytanie o kąt od stycznej dawałoby tanγ=4/3 i γ≈53,13°. Oba kąty sumują się do 90°. Wynik 4/3 nie jest więc sam w sobie pozbawiony sensu, lecz odpowiada innemu pytaniu niż zadane. Najprościej uniknąć zamiany, zaznaczając na szkicu, od której z dwóch prostopadłych osi zaczynamy mierzyć kąt.

Dodatkowa kontrola

Gdyby punkt miał masę 2 kg, wypadkowe składowe sił wyniosłyby 6 N stycznie i 8 N normalnie, a całkowita siła 10 N. To ten sam trójkąt przeskalowany przez masę, zgodnie z F=ma. Nie dodajemy osobnej dodatkowej siły 8 N do już policzonej normalnej wypadkowej, bo policzylibyśmy to samo oddziaływanie dwukrotnie.

Powiązana teoria

Przyspieszenie na zakrzywionym torze: zmiana szybkości i kierunku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny