Dwa razy większa prędkość kątowa przy stałym α

Rozwiązanie

Każda składowa ma inną zależność

Dla stałej odległości R od osi a_t=αR, a a_n=ω²R. Przyspieszenie kątowe α oraz promień są niezmienne, więc składowa styczna nie zmienia się. Podwojenie ω zwiększa kwadrat ω² czterokrotnie, zatem normalna rośnie cztery razy.

Nie utożsamiamy stałego α ze stałym a

Całkowita wartość to √(a_t²+a_n²). Po zmianie otrzymamy √(a_t²+16a_n²), gdzie symbole po prawej odnoszą się do początkowych składowych. Zwykle nie jest to ani dwa, ani dokładnie cztery razy większa całkowita wartość. Zmienia się także kąt wypadkowej względem normalnej.

Podwajamy tylko tę wielkość, którą zmienia treść

a_{t2}=\alpha R=a_{t1},\qquad a_{n2}=(2\omega_1)^2R=4\omega_1^2R=4a_{n1}.

Kwadrat dotyczy całego iloczynu 2ω₁, dlatego daje 4. Zmiana normalnej nie uprawnia do czterokrotnego zwiększenia całej wypadkowej, bo składowa styczna pozostała ta sama. Gdy obie składowe są niezerowe, iloraz wartości całkowitych leży między 1 a 4.

Wynik

Składowa styczna pozostaje taka sama, a normalna rośnie czterokrotnie. Stałe przyspieszenie kątowe nie oznacza stałego wektora ani stałej wartości całkowitego przyspieszenia liniowego.

Przykład kontrolny

Jeśli początkowo a_t=6 i a_n=8 m/s², całość wynosi 10 m/s². Po podwojeniu ω składowe wyniosą 6 oraz 32, a całość √1060≈32,56 m/s². Kąt od normalnej zmaleje, bo tanβ spadnie z 6/8 do 6/32. Wektor jest bardziej skierowany ku środkowi.

Wariant: gdyby α=0, składowa styczna byłaby zerowa i czterokrotny wzrost normalnej oznaczałby również czterokrotny wzrost całkowitej wartości w porównywanych stanach. Podane ogólne rozumowanie obejmuje ten przypadek, ale nie wolno go narzucać, skoro zadanie mówi tylko o stałym, a nie koniecznie zerowym α.

Dodatkowa kontrola

Dla niezerowego stałego α i rozpoczęcia od spoczynku ω=αt. Składowa styczna pozostaje αR, natomiast normalna wynosi α²t²R i rośnie z kwadratem czasu. Dwa razy późniejsza chwila daje więc czterokrotnie większą normalną. Zgodność tej obserwacji z wcześniejszą proporcją jest kontrolą, że rozpatrujemy stały promień i kątowe przyspieszenie, a nie stałą szybkość.

Powiązana teoria

Przyspieszenie na zakrzywionym torze: zmiana szybkości i kierunku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny