Samoindukcja i energia pola cewki

Potrzebne wiadomości: Prawo Faradaya, natężenie, praca i moc.

Stały prąd nie oznacza braku pola

Przy stałym I liniowa cewka ma stały strumień skojarzony Ψ = LI. Pochodna jest zerowa, więc SEM samoindukcji znika. Nie znika jednak pole ani jego energia. To ten sam ważny podział co przy indukcji zewnętrznej: wartość strumienia i szybkość jego zmiany opisują różne rzeczy.

Jeżeli idealną cewkę zasilamy przez opornik stałym napięciem, prąd nie skacze natychmiast do końcowej wartości. Początkowo zmieniające się pole przeciwstawia się jego wzrostowi. Po długim czasie w stanie ustalonym idealna cewka nie wnosi już spadku L dI/dt; nadal może go wnosić rzeczywisty opór jej uzwojenia.

Indukcyjność

W liniowym modelu cewki strumień skojarzony, czyli suma strumieni przez zwoje, jest proporcjonalny do prądu: Ψ = LI. Współczynnik L nazywamy indukcyjnością. Jego jednostką jest henr: 1 H = 1 V·s/A.

Dla stałej indukcyjności średnia SEM samoindukcji wynosi:

\varepsilon_{sr}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}.

Dla zmiany chwilowej używamy pochodnej dI/dt. Znak minus opisuje przeciwdziałanie zmianie prądu. Przy wzroście natężenia indukcja utrudnia wzrost; przy spadku stara się podtrzymać dotychczasowy prąd.

SEM a napięcie na elemencie

W pasywnej konwencji znaków, gdy prąd wpływa do zacisku oznaczonego dodatnio, napięcie idealnej cewki zapisujemy jako u_L = L dI/dt. To nie sprzeczność z minusem w SEM Faradaya, lecz inny sposób orientowania napięcia w równaniu obwodu. Rzeczywista cewka ma ponadto opór uzwojenia, którego spadek napięcia trzeba doliczyć.

Skąd współczynnik jednej drugiej?

W pasywnej konwencji moc doprowadzana do idealnej cewki wynosi p = u_LI = LI dI/dt. Pomnożenie przez mały czas dt daje przyrost energii dE = LI dI. Zwiększając prąd od zera do I, sumujemy kolejne przyrosty. Na wykresie Ψ(I) zależność Ψ = LI jest prostą, a zgromadzona energia odpowiada polu trójkąta pod nią:

E_B=\int_0^I LI'\,dI'=\frac12 LI^2.

Symbol I′ jest tu tylko zmienną całkowania. Wynik można także odczytać geometrycznie: podstawa ma długość I, wysokość LI, a pole trójkąta jest połową ich iloczynu. Jednostki zgadzają się, bo Wb·A = V·s·A = J.

Energia pola

Źródło wykonuje pracę podczas zwiększania prądu. W idealnej liniowej cewce energia zgromadzona w polu wynosi:

E_B=\frac12 LI^2.

Jest dodatnia dla obu zwrotów prądu. Podwojenie natężenia zwiększa energię czterokrotnie. W przeciwieństwie do idealnego opornika idealna cewka nie musi rozpraszać tej energii; może ją oddać obwodowi przy zmniejszaniu prądu.

Przykład

Cewka o L = 0,20 H przewodzi prąd 3 A. Energia pola wynosi 0,5 · 0,20 · 9 = 0,90 J. Jeśli prąd wzrasta liniowo o 1 A w ciągu 0,010 s, wartość SEM wynosi 20 V.

Duże napięcie przy szybkim przerywaniu prądu nie oznacza nieograniczonej energii — energia początkowego pola jest skończona. Nie należy jednak sprawdzać tego przez przypadkowe rozłączanie cewek; przepięcia mogą uszkodzić elementy. Wzory ze stałym L nie obejmują między innymi nasycenia rdzenia i silnie zmieniającej się geometrii.

Zmiana energii między dwoma stanami

Na ilustracji cewka 0,080 H ma przy 5 A energię 1 J, a przy 10 A — 4 J. Dodatkowa energia jest polem trapezu między tymi wartościami prądu: (0,4 Wb + 0,8 Wb) · 5 A / 2 = 3 J. Nie jest polem nowego trójkąta o podstawie 5 A, zaczynającego od zera. To obrazowe wyjaśnienie, dlaczego liczymy różnicę kwadratów, a nie kwadrat różnicy.

Zmniejszanie prądu oznacza oddawanie energii przez idealne pole. To, dokąd ona trafi, zależy od pozostałego obwodu. Może zostać rozproszona w oporze albo przekazana innemu elementowi. Sam wzór LI²/2 nie rozstrzyga o napięciu podczas wyłączania: do tego potrzebujemy przebiegu I(t).

Gdy prąd maleje, pole oddaje energię

W cewce 0,20 H zmniejszamy prąd z 3 A do 1 A w czasie 0,010 s. Przyrost prądu wynosi −2 A, dlatego SEM w orientacji użytej wyżej ma znak dodatni i wartość 40 V. Działa zgodnie z dotychczasowym prądem, podtrzymując go. Energia pola maleje z 0,90 J do 0,10 J, zatem cewka oddaje 0,80 J do pozostałego obwodu. Nie mnożymy 40 V przez jeden dowolnie wybrany prąd i cały czas, bo I w tym czasie się zmienia. Dla liniowego spadku średni prąd wynosi 2 A; 40 V · 2 A · 0,010 s daje właśnie 0,80 J.

Warsztat: dlaczego prąd przy stałym napięciu nie rośnie liniowo?

Idealna cewka L=0,30 H jest połączona szeregowo z oporem 6,0 Ω i źródłem stałego napięcia 12 V. W chwili zamknięcia obwodu prąd wynosi zero. Bilans napięć jest inny niż samo u=LΔI/Δt, ponieważ część napięcia przypada na opornik:

12\ \mathrm V=RI+L\frac{dI}{dt},\qquad I(t)=\frac{12\ \mathrm V}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad\tau=\frac LR=0{,}050\ \mathrm s.

Na początku spadek RI jest zerowy i nachylenie wynosi 12/0,30=40 A/s. Gdy prąd osiągnie 1 A, opornik zabiera już 6 V, więc dla cewki pozostaje 6 V, a nachylenie maleje do 20 A/s. Przy prądzie zbliżającym się do 2 A niemal całe napięcie przypada na opornik i dalszy wzrost staje się coraz wolniejszy. Przedłużenie początkowej stycznej do 0,10 s dawałoby 4 A, co nie opisuje rozwiązania tego obwodu.

Po jednej stałej czasowej prąd ma około 1,264 A, czyli 63,2% wartości końcowej. Spadek na oporniku wynosi około 7,59 V, a na cewce 4,41 V: suma nadal daje 12 V. Energia pola ma wtedy około 0,240 J; w granicznym stanie z prądem 2 A wynosi 0,600 J. Stała czasowa nie jest więc czasem „pełnego naładowania”.

Po długim czasie źródło nadal dostarcza moc 12 V·2 A=24 W, ale energia idealnej cewki już nie rośnie. Cała ta moc wydziela się w oporze. Do wyjaśnienia przejścia i stanu ustalonego potrzebne są zarówno prawo indukcji, jak i bilans energii. Podane wartości służą analizie modelu, nie instrukcji przełączania fizycznej cewki.

Zadania do tego tematu

• Samoindukcja — zadanie: szybkość zmiany natężenia
• Energia cewki — zadanie: dwukrotnie większy prąd

Dalsza lektura

Materiał referencyjny