Strumień magnetyczny, prawo Faradaya i reguła Lenza

Potrzebne wiadomości: Indukcja magnetyczna, pole powierzchni i cosinus kąta.

Strumień pola

Dla płaskiej powierzchni S w jednorodnym polu strumień wynosi:

\Phi=BS\cos\alpha.

α jest kątem między B i normalną, czyli kierunkiem prostopadłym do powierzchni. Nie jest kątem między polem a samą płaszczyzną pętli. Strumień ma jednostkę webera: 1 Wb = 1 T·m². Jego znak zależy od wybranego zwrotu normalnej.

Strumień i liczba zwojów to dwa różne kroki

Najpierw wybieramy powierzchnię jednego zwoju oraz jej normalną. Jeżeli pole jest prostopadłe do płaszczyzny, kąt z normalną wynosi 0° albo 180° — nie 90°. Dla pola leżącego w płaszczyźnie strumień wynosi zero, mimo że samo B może być duże. Strumień opisuje przechodzenie pola przez powierzchnię, a nie samą obecność pola w jej pobliżu.

Dla jednakowych zwojów sumą strumieni jest NΦ. Prawo Faradaya dotyczy zmiany właśnie tej sumy. Jeśli obliczyliśmy już NΔΦ, nie mnożymy wyniku drugi raz przez N. Przy nierównym strumieniu w różnych zwojach trzeba je zsumować osobno.

Wykres strumienia rozstrzyga o SEM

Wartość SEM jest związana z nachyleniem wykresu Φ(t), nie z jego wysokością. Dwa równoległe odcinki wykresu dają taką samą SEM, nawet jeśli jeden leży wyżej. Poziomy odcinek oznacza stały strumień i zerową SEM indukcji. Odcinek o dwukrotnie większej stromości daje dwukrotnie większą wartość SEM.

Jeżeli w czasie 0,10 s strumień jednego zwoju wzrośnie z 0,001 Wb do 0,003 Wb, to ΔΦ = 0,002 Wb. Dla N = 50 wartość SEM wyniesie 1 V. Końcowe 0,003 Wb nie jest przyrostem; podstawienie go zamiast różnicy dałoby błędne 1,5 V.

Prawo Faradaya

Jeżeli przez każdy z N zwojów przechodzi ten sam strumień, średnia indukowana SEM jest równa:

\varepsilon_{sr}=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.

Dla wartości chwilowej używa się pochodnej strumienia po czasie. Gdy zmiana strumienia jest liniowa, SEM jest stała i równa średniej. Sama SEM może występować także w otwartym obwodzie; przepływ prądu wymaga zamkniętej drogi.

Reguła Lenza

Zwrot indukcji jest taki, aby jej skutek przeciwdziałał zmianie strumienia, która ją wywołała. Przeciwdziałał zmianie, a nie zawsze samemu polu. Gdy zewnętrzny strumień rośnie, pole prądu indukowanego działa przeciwnie do tego wzrostu. Gdy maleje, prąd próbuje go podtrzymać.

Przykład: pole skierowane w głąb kartki rośnie, a pętla leży w płaszczyźnie kartki. Prąd indukowany wytwarza pole w stronę czytelnika, czyli płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z perspektywy czytelnika.

Zwrot prądu: najpierw przyczyna zmiany

Pracę z regułą Lenza rozdzielmy na trzy decyzje. Po pierwsze wskazujemy zwrot pola zewnętrznego i ustalamy, czy jego strumień rośnie czy maleje. Następnie określamy pole potrzebne do przeciwdziałania tej zmianie. Dopiero na końcu regułą prawej dłoni wyznaczamy obieg prądu. Przeskakiwanie od słowa „magnes” prosto do „zgodnie z zegarem” łatwo prowadzi do odwrócenia odpowiedzi.

Dla rosnącego pola w głąb kartki potrzebne jest pole indukowane na zewnątrz, więc prąd płynie przeciwnie do zegara. Dla malejącego pola w głąb kartki potrzebne jest pole nadal w głąb: prąd płynie zgodnie z zegarem. Oba przypadki są pokazane na ilustracji. Wartość prądu wymaga jeszcze znajomości obwodu; w otwartej pętli może pojawić się SEM bez trwałego przepływu prądu.

Przykład liczbowy

Cewka ma 100 zwojów o polu 0,002 m². Prostopadłe do nich pole wzrasta jednostajnie o 0,30 T w ciągu 0,10 s. Wartość SEM wynosi 100 · 0,002 · 0,30/0,10 = 0,60 V. Liczymy strumień jednego zwoju i mnożymy przez N tylko raz.

Minus w prawie Faradaya nie oznacza, że „wartość napięcia jest zawsze ujemna”. Określa zgodność zwrotów przy wybranej orientacji obwodu i powierzchni. Do obliczenia prądu trzeba dodatkowo znać opór i, gdy ma znaczenie, indukcyjność samego obwodu. Zmiana strumienia nie tworzy energii z niczego: źródłem może być praca mechaniczna albo zewnętrzny układ zmieniający pole.

Stałe pole też może wywołać SEM

Jedna pętla o polu 0,030 m² obraca się w niezmiennym polu 0,20 T. Początkowo normalna jest zgodna z polem, a po 0,10 s tworzy z nim kąt 60°. Strumień początkowy wynosi 0,0060 Wb, końcowy 0,0030 Wb, więc ΔΦ = −0,0030 Wb. Średnia SEM przy konsekwentnie wybranej orientacji wynosi −ΔΦ/Δt = +0,030 V. Zmienił się kąt, chociaż ani B, ani S nie zmieniały wartości. Przy stałej prędkości obrotu strumień jest cosinusoidą, więc ten wynik jest średnią w podanym przedziale, a nie stałym napięciem w każdej chwili.

Warsztat: zerowa średnia SEM, niezerowe ogrzewanie

Rozważmy 50 jednakowych nieruchomych zwojów o polu 0,010 m² każdy. Wybieramy normalną zgodnie z polem zewnętrznym. Indukcja rośnie liniowo z 0,20 T do 0,60 T przez 0,10 s, potem jest stała przez 0,10 s, a następnie wraca liniowo do 0,20 T przez 0,20 s. Zakładamy pomijalną samoindukcję obwodu. Kolejne wartości SEM, z jednym konsekwentnym zwrotem obiegu, wynoszą:

\varepsilon_1=-2{,}0\ \mathrm V,\qquad\varepsilon_2=0,\qquad\varepsilon_3=+1{,}0\ \mathrm V.

Po całym cyklu strumień wrócił do początkowej wartości. Suma iloczynów SEM i czasu jest równa (−2 V)·0,10 s+(1 V)·0,20 s=0. To samo wynika bezpośrednio z prawa Faradaya. Nie znaczy to jednak, że średnia moc wydzielana w oporze jest zerowa.

Jeśli opór całej zamkniętej drogi wynosi 10 Ω, energia rozproszona podczas wzrostu pola to ε₁²Δt₁/R=0,040 J, a podczas spadku 0,020 J. Łącznie otrzymujemy 0,060 J. Znak napięcia zmienia kierunek prądu, lecz nie znak I²R. Energia pochodzi od układu zmieniającego zewnętrzne pole; jego obciążenie nie znika tylko dlatego, że po cyklu wartość pola jest taka sama.

W chwilach zmiany nachylenia idealizowany wykres ma ostre załamania. W rzeczywistym obwodzie skończona samoindukcja i czas przełączania wygładzają przebieg prądu. Szkolne prostokątne odcinki SEM są dobrym opisem przedziałów z dala od takich zmian, gdy przyjęte uproszczenia są uzasadnione.

Zadania do tego tematu

• Indukcja — zadanie: narastające pole przez cewkę
• Reguła Lenza — zadanie: zmniejszające się pole

Dalsza lektura

Materiał referencyjny