Napięcie skuteczne i faza przy połowie częstotliwości granicznej

Rozwiązanie

1. Ustalamy skalę czasu i częstotliwość

Opór to 3300 Ω, a pojemność 100 · 10⁻⁹ F. Ich iloczyn wynosi τ = 0,000330 s. Częstotliwość graniczna jest odwrotnością 2πτ, a zadana częstotliwość stanowi jej połowę:

f=\frac{1}{4\pi RC}=\frac{1}{4\pi\cdot0{,}000330\,\mathrm{s}}\approx241{,}14\,\mathrm{Hz}.

2. Tłumienie liczymy dla x = 0,5

k=\frac{1}{\sqrt{1+0{,}5^2}}=\frac{2}{\sqrt5}\approx0{,}894427.

Podano wartość skuteczną wejścia i pytamy o wartość skuteczną wyjścia. Obie są amplitudami podzielonymi przez √2, więc ten czynnik skraca się w ich stosunku. Nie trzeba go dopisywać do k.

U_{wy,sk}=kU_{we,sk}=\frac{8}{\sqrt5}\,\mathrm{V}\approx3{,}578\,\mathrm{V}.

3. Faza i odstęp maksimów

Faza wynosi φ = −arctan(0,5) ≈ −26,565°, czyli −0,463648 rad. Wyjście jest opóźnione. Ponieważ ω = x/τ = 0,5/0,000330 s, otrzymujemy:

\Delta t=\frac{-\varphi}{\omega}=\frac{0{,}463648\cdot0{,}000330}{0{,}5}\,\mathrm{s}\approx306{,}0\,\mathrm{\mu s}.

To około 7,38% okresu, bo 26,565°/360° ≈ 0,0738. Połowa okresu oznaczałaby 180°, czego ten pojedynczy nieobciążony filtr dolnoprzepustowy przy dodatniej częstotliwości nie osiąga. Samo stwierdzenie „połowa częstotliwości granicznej” nie wyznacza ułamka okresu, o jaki przesunie się sinusoida.

Napięcie skuteczne jest mniejsze od wejściowego, zgodnie z k < 1. Znak fazy zgadza się z odczytem wyjścia na kondensatorze.

Wynik: f ≈ 241,14 Hz; U_wy,sk ≈ 3,578 V; φ ≈ −26,565°; opóźnienie maksimów ≈ 306,0 µs.

Powiązana teoria

Filtr RC dolnoprzepustowy: amplituda i opóźnienie sinusoidy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny