Pojemność wyznaczona z tłumienia sinusoidy
W nieobciążonym filtrze dolnoprzepustowym R = 2,00 kΩ. Przy f = 800 Hz zmierzono amplitudę wejścia 2,50 V i amplitudę wyjścia 1,50 V. Przyjmij idealne źródło, idealne R i C oraz sinusoidalny stan ustalony. Wyznacz C, fg i przewidywane przesunięcie fazowe. Wyjaśnij, dlaczego sam taki pomiar nie rozdzieliłby nieznanego R od nieznanego C.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Zmierzony stosunek amplitud wynosi 0,6. Odwróć równanie k = 1/√(1 + x²), wybierając dodatnie x = ωRC.
Rozwiązanie
1. Pomiar daje iloczyn ωRC
Stosunek amplitud wynosi k = 1,50/2,50 = 0,600. Kwadratujemy, odwracamy i dopiero potem odejmujemy jeden:
k^2=\frac{1}{1+x^2},\qquad x^2=\frac{1}{k^2}-1=\frac{1}{0{,}36}-1=\frac{16}{9}.
Fizycznie x = ωRC > 0, więc wybieramy x = 4/3. Ujemny pierwiastek nie jest drugą dopuszczalną pojemnością w tym modelu.
2. Z iloczynu odzyskujemy C
C=\frac{x}{2\pi fR}=\frac{4/3}{2\pi\cdot800\,\mathrm{Hz}\cdot2000\,\Omega}\approx132{,}63\,\mathrm{nF}.
Rachunek wykonany w hercach, omach i sekundach daje farady. Wynik to około 1,3263 · 10⁻⁷ F; zapis 132,63 µF byłby tysiąc razy za duży. Jednocześnie x = f/fg, zatem fg = 800 Hz · 3/4 = 600 Hz.
3. Faza jest niezależnym sprawdzianem modelu
\varphi=-\arctan\frac43\approx-53{,}130^\circ.
Wyjście powinno być opóźnione. Para k = 3/5 i sin(|φ|) = 4/5 tworzy znany trójkąt 3–4–5. Gdyby rzeczywisty pomiar fazy wyraźnie nie zgadzał się z przewidywaniem, należałoby sprawdzić między innymi obciążenie, opór źródła, częstotliwość i sposób odczytu amplitud. Nie wolno automatycznie przypisać każdej rozbieżności kondensatorowi.
Gdyby nieznane były zarówno R, jak i C, dane wyznaczałyby jedynie RC = x/(2πf). Dwa razy większe R i dwa razy mniejsze C dałyby tę samą odpowiedź częstotliwościową idealnego, nieobciążonego filtru.
Znana wartość R usuwa tę niejednoznaczność: wyliczone C jest jedyną dodatnią pojemnością zgodną z zadanym idealnym modelem.
Wynik: C ≈ 132,63 nF; fg = 600 Hz; φ ≈ −53,130°.
Powiązana teoria
Filtr RC dolnoprzepustowy: amplituda i opóźnienie sinusoidy
Dalsza lektura
Zobacz amplitudę i fazę
Najpierw przewiduj: Ustaw częstotliwość równą f₀ = 1/(2πRC). Jaki ułamek amplitudy zostanie na wyjściu? Sprawdź też przesunięcie obu sinusoid.
R₁ = 10 kΩ i C₁ = 0,1 µF dają RC = 0,001 s oraz f₀ ≈ 159,155 Hz. Przy tej częstotliwości pojedynczy nieobciążony filtr ma |H| ≈ 0,707; kaskada jednakowych stopni bez bufora ma |H| = 1/3.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Wykres przedstawia amplitudę napięcia, dlatego G_{\rm dB}=20\log_{10}|H|. f₀ = 1/(2πR₁C₁) jest częstotliwością odniesienia pojedynczego nieobciążonego stopnia. W układzie obciążonym lub w kaskadzie nie musi być częstotliwością graniczną całego układu. Amplituda wejścia wynosi 5 V, a nie 5 V wartości skutecznej.
Obciążenie RL jest równoległe do kondensatora wyjściowego. Zmniejsza wzmocnienie stałoprądowe do RL/(R₁ + RL). W kaskadach R₂ = kR₁ oraz C₂ = C₁/k, więc oba izolowane stopnie mają tę samą stałą RC. Bez bufora człon R₁C₂ pozostaje w mianowniku transmitancji i obniża amplitudę względem kaskady buforowanej.
Porównujemy sinusoidy w stanie ustalonym. Faza nie jest prędkością przesyłania informacji; wyprzedzenie fazowe w filtrze górnoprzepustowym nie oznacza reakcji na przyszłe zdarzenie. Pomijamy pasożytnicze elementy i tolerancje. Suwak czasu pokazuje t/T sinusoidy; odtwarzanie jest celowo spowolnione do jednego okresu na dwie sekundy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto