Natężenie dźwięku i skala decybelowa

Potrzebne wiadomości: Moc, pole powierzchni i logarytm dziesiętny.

Dlaczego nie wystarczy zwykła skala?

Dwa natężenia mogą różnić się tysiąc lub milion razy. Zapisywanie ich ilorazu przez logarytm pozwala porównywać takie zakresy bez ciągów zer. Decybele nie zastępują jednak natężenia: są innym sposobem wyrażenia stosunku do wybranego odniesienia. Przed rachunkiem zapisujemy, co porównujemy i względem czego.

Logarytm dziesiętny odpowiada na pytanie: do której potęgi trzeba podnieść 10, żeby otrzymać daną liczbę? Ponieważ 10⁶ = milion, log₁₀(10⁶) = 6. Dlatego poziom 60 dB oznacza tutaj natężenie milion razy większe od przyjętego odniesienia. Ujemny poziom jest matematycznie możliwy: −10 dB oznacza natężenie równe jednej dziesiątej odniesienia, a nie ujemną energię.

Natężenie i poziom natężenia

Natężenie dźwięku I opisuje średnią moc przenoszoną przez jednostkę powierzchni ustawionej prostopadle do kierunku transportu energii. Mierzymy je w W/m². Poziom natężenia definiujemy względem ustalonego natężenia odniesienia:

\beta=10\log_{10}\frac{I}{I_{ref}}.

Wartość β podajemy w decybelach. W tych zadaniach przyjmujemy I_ref = 10⁻¹² W/m². Pod logarytmem jest iloraz dwóch natężeń, czyli liczba bezwymiarowa. Poziom 0 dB oznacza równość z natężeniem odniesienia, nie brak dźwięku.

Dziesięciokrotny wzrost I zwiększa β o 10 dB. Dwukrotny wzrost zwiększa poziom o 10 log₁₀2 ≈ 3,01 dB. Dla dwóch nieskorelowanych źródeł, gdy uśredniony człon interferencyjny zanika i rozpatrujemy zgodny kierunek transportu energii, można zsumować średnie natężenia. Dla spójnych fal wynik zależy również od fazy.

Jak wrócić z decybeli do natężenia?

Dzielimy β przez 10 i potęgujemy podstawę 10: I=I_{ref}\,10^{\beta/10}. Dla 50 dB jest to 10⁻¹² · 10⁵ = 10⁻⁷ W/m². Dla 60 dB dostajemy 10⁻⁶ W/m². To dziesięciokrotna różnica natężeń. W drugą stronę różnica poziomów ma postać Δβ = 10 log₁₀(I₂/I₁); odniesienie się skraca, jeśli jest wspólne.

Załóżmy teraz, że w tym samym punkcie jedno nieskorelowane źródło daje 60 dB, a drugie 50 dB, i możemy zsumować ich natężenia. Najpierw wracamy do W/m²: 10⁻⁶ + 10⁻⁷ = 1,1 · 10⁻⁶. Potem liczymy logarytm. Wynik to około 60,41 dB, a nie 110 dB ani średnia 55 dB. Słabsze źródło dodało tylko 10% do natężenia silniejszego.

Oddalanie się od źródła

Izotropowe źródło punktowe o stałej mocy rozprowadza energię po coraz większej sferze. Bez pochłaniania i odbić:

I=\frac{P}{4\pi r^2},\qquad \beta_2-\beta_1=20\log_{10}\frac{r_1}{r_2}.

Dwukrotne zwiększenie odległości zmniejsza natężenie czterokrotnie, a poziom o około 6,02 dB. W pomieszczeniu odbicia mogą istotnie zmienić tę zależność.

Przykład

Natężenie 10⁻⁵ W/m² odpowiada poziomowi 70 dB względem przyjętego odniesienia. Zwiększenie natężenia do 10⁻⁴ W/m² daje 80 dB. Różnica dziesięciu decybeli odpowiada tutaj dziesięciokrotnej zmianie fizycznego natężenia.

Poziomu natężenia nie należy bez wyjaśnienia utożsamiać z poziomem ciśnienia akustycznego ani z odczytem uwzględniającym korekcję częstotliwościową, na przykład dB(A). Sam wynik tego rachunku nie jest też miarą subiektywnej głośności. W tym materiale operujemy konkretną definicją β i zawsze podanym odniesieniem.

Od wyniku do sprawdzenia modelu

Jeżeli w odległości 1 m od źródła mierzymy 72 dB, model sferyczny przewiduje około 66 dB w odległości 2 m i 60 dB w odległości 4 m. Każde podwojenie odległości daje tę samą różnicę poziomów, choć różne przyrosty metrów. Dla uzyskania spadku o 20 dB odległość musi wzrosnąć dziesięciokrotnie: natężenie spada wtedy stukrotnie.

To przewidywanie można porównać z serią pomiarów, lecz sam telefon w pokoju nie realizuje idealnego źródła punktowego w pustej przestrzeni. Odbicia od ścian, tło, kierunkowość głośnika i charakterystyka mikrofonu zmieniają wynik. Najpierw należy ustalić, czy przyrząd pokazuje poziom ciśnienia, poziom z korekcją A czy inną wielkość. Nie wolno traktować dowolnego odczytu z aplikacji jak pomiaru natężenia I użytego we wzorze.

Jak odjąć szum tła, skoro nie odejmuje się decybeli?

Przy pracującym urządzeniu zmierzono poziom natężenia 70 dB, a po jego wyłączeniu 60 dB. Pomiary odnoszą się do tego samego miejsca i tego samego natężenia odniesienia 10⁻¹² W/m². Zakładamy niezmienne tło oraz taki model nieskorelowanych fal, w którym sumują się ich średnie natężenia. Jaki poziom pochodzi od samego urządzenia?

Najpierw cofamy logarytm: razem jest 10⁻⁵ W/m², a tło wnosi 10⁻⁶ W/m². Różnica wynosi 9·10⁻⁶ W/m². Dopiero tę różnicę przeliczamy na decybele:

\beta_{\mathrm{urz}}=10\log_{10}\left(\frac{9\cdot10^{-6}}{10^{-12}}\right)\approx69{,}54\ \mathrm{dB}.

Wynik jest nieco mniejszy niż poziom całkowity, co ma sens. Rachunek 70−60=10 dB mówiłby, że stosunek natężenia całkowitego do tła wynosi 10, a nie że urządzenie wytwarza poziom 10 dB. Rysunek pokazuje sumę i różnicę na liniowej osi natężenia; wartości w dB są podpisami tych samych stanów, nie długościami odcinków.

Jeśli wyniki z urządzeniem i bez niego prawie się nie różnią, odejmujemy dwie bliskie liczby. Niewielkie wahanie tła może wtedy mocno zmienić wynik przypisany urządzeniu. Wynik ujemny po takim odejmowaniu oznacza niespełnione założenia lub niepewność pomiaru, nie ujemne natężenie dźwięku. Pomiar poziomu ciśnienia akustycznego, charakterystyka dBA i subiektywna głośność wymagają ponadto właściwego dla nich opisu.

Zadania do tego tematu

• Decybele — zadanie: dwa niezależne źródła
• Dźwięk — zadanie: trzykrotnie większa odległość

Dalsza lektura

Materiał referencyjny