Efekt Dopplera. Ruch źródła a ruch obserwatora

Potrzebne wiadomości: Częstotliwość, długość fali i prędkość względem ośrodka.

Policz docierające grzbiety

Syrena mijająca obserwatora zmienia słyszaną wysokość dźwięku, nawet gdy jej mechanizm pracuje w stałym rytmie. Częstotliwość źródła opisuje liczbę wysyłanych drgań na sekundę. Częstotliwość odebrana opisuje liczbę kolejnych grzbietów docierających do odbiornika na sekundę. Gdy zmienia się geometria ich emisji lub przechwytywania, te liczby mogą się różnić.

W tej lekcji powietrze spoczywa, prędkość dźwięku v jest stała, a ruch odbywa się wzdłuż prostej źródło–odbiornik. Najpierw rysujemy strzałki prędkości względem powietrza. Nie zaczynamy od zgadywania znaku we wzorze: to najszybsza droga do uzyskania niższego tonu dla źródła, które się zbliża.

Poruszające się źródło

Niech źródło wysyła kolejne grzbiety co T = 1/f i zbliża się do nieruchomego obserwatora z prędkością v_s względem spoczywającego ośrodka. W ciągu okresu grzbiet przebywa vT, lecz źródło przesuwa się o v_sT. Odstęp grzbietów przed źródłem wynosi więc λ = (v − v_s)/f.

Obserwator odbiera częstotliwość:

f'=f\frac{v}{v-v_s}.

v jest prędkością dźwięku względem ośrodka. Przy oddalaniu źródła w mianowniku występuje v + v_s, jeśli v_s oznacza dodatnią wartość prędkości oddalania.

Ten sam wynik z czasu docierania

Pierwszy grzbiet wyrusza z odległości D i dociera po D/v. Drugi zostaje wysłany o T później, ale z odległości D − vₛT. Jego czas dotarcia liczony od pierwszej emisji to T + (D − vₛT)/v. Różnica czasów dotarcia wynosi T′ = T(1 − vₛ/v). Po odwróceniu dostajemy f′ = f/(1 − vₛ/v). To niezależna droga do tego samego mianownika.

W tym obliczeniu nie dodaliśmy prędkości źródła do prędkości biegu dźwięku w powietrzu. Zmiana wynika z coraz krótszej drogi kolejnych grzbietów. Po stronie za oddalającym się źródłem drogi rosną, T′ jest większe i odbierana częstotliwość mniejsza.

Poruszający się obserwator

Dla nieruchomego źródła długość fali w ośrodku wynosi λ = v/f. Obserwator zbliżający się z prędkością v_o napotyka grzbiety z prędkością v + v_o, więc f' = f(v + v_o)/v. Dla jednoczesnego ruchu obu stron ku sobie:

f'=f\frac{v+v_o}{v-v_s}.

W tym zapisie obie prędkości są dodatnimi wartościami składowych zbliżania względem ośrodka. Rozpatrujemy ruch wzdłuż wspólnej prostej oraz źródło poruszające się wolniej od dźwięku. Nie wstawiamy samodzielnie znaków jeszcze raz do wzoru, który już uwzględnia zbliżanie.

Przykład

Źródło o częstotliwości 500 Hz zbliża się z prędkością 20 m/s, a dźwięk rozchodzi się z prędkością 340 m/s. Nieruchomy obserwator otrzyma 500 · 340/320 = 531,25 Hz. Gdy zamiast źródła porusza się ku niemu obserwator z prędkością 20 m/s, otrzymujemy około 529,41 Hz.

Prędkość wzajemnego zbliżania jest taka sama, lecz wyniki są różne, bo ośrodek wyróżnia układ odniesienia dla rozchodzenia się dźwięku. Dla światła należy użyć relatywistycznego opisu Dopplera, nie mechanicznie tego wzoru z v zastąpionym przez c. Przy ruchu ukośnym trzeba ponadto uwzględnić właściwe składowe i geometrię emisji.

Gdy poruszają się obie strony

Źródło 600 Hz zbliża się z prędkością 34 m/s, a obserwator zbliża się do niego z prędkością 17 m/s. Obie prędkości podano względem spoczywającego powietrza; v = 340 m/s. Odstęp grzbietów przed źródłem jest równy (340 − 34)/600 = 0,510 m. Odbiornik napotyka je z szybkością 340 + 17 = 357 m/s. Otrzymujemy f′ = 357/0,510 = 700 Hz.

Jeżeli przy tych samych wartościach obie strony się od siebie oddalają, długość fali po stronie odbiornika wynosi (340 + 34)/600 ≈ 0,6233 m, a tempo przechwytywania grzbietów 340 − 17 = 323 m/s. Wynik to około 518,18 Hz. Sprawdzamy sens: zbliżanie dało więcej niż 600 Hz, oddalanie mniej.

Przy bardzo małych prędkościach względem v różnica między ruchem źródła i odbiornika może być niewielka. Nie daje to jednak prawa do używania wyłącznie ich prędkości względnej w dowolnym przypadku. Gdy vₛ zbliża się do v, zwykły wzór przewiduje coraz mniejsze odstępy przed źródłem, aż założenia obrazu kolejnych rozdzielonych frontów przestają opisywać sytuację dźwięku poddźwiękowego. Nie interpretujemy zera w mianowniku jako rzeczywistej syreny o nieskończonej częstotliwości.

Z dwóch tonów wyznaczamy szybkość syreny

Nieruchomy obserwator słyszy 660 Hz podczas zbliżania i 550 Hz podczas oddalania się źródła. Przed i po minięciu źródło emituje ten sam ton i porusza się z tą samą szybkością względem powietrza. Rozpatrujemy ruch wzdłuż linii źródło–odbiorca; nie próbujemy opisać tym wzorem chwili mijania po torze biegnącym obok obserwatora. Przyjmujemy v=340 m/s.

Nie znamy ani emitowanej częstotliwości f, ani szybkości v_s. Zapisujemy dwa równania i dzielimy je stronami. Nieznane f znika:

\frac{660}{550}=\frac{v+v_s}{v-v_s}=1{,}2,\qquad v_s=v\frac{1{,}2-1}{1{,}2+1}\approx30{,}91\ \mathrm{m/s}.

Teraz wracamy do dowolnego pomiaru. Z tonu zbliżania dostajemy f=660·(340−30,91)/340≈600 Hz. Sprawdzenie drugiego pomiaru daje 600·340/(340+30,91)≈550 Hz. Nie wolno przyjąć, że emitowane f to średnia arytmetyczna (660+550)/2=605 Hz. Obie zależności mają różne mianowniki, więc przesunięcia w górę i w dół nie są symetryczne.

Na wykresie dla stałych 600 Hz widać tę asymetrię: przy tej samej szybkości górna krzywa odchyla się mocniej. Dla v_s=0 obie wracają do 600 Hz. To dwa proste sprawdzenia, zanim użyjemy wyniku do interpretacji pomiaru. Gdyby syrena sama zmieniała ton albo szybkość, dwóch odczytów nie wystarczyłoby do tego rozumowania.

Zadania do tego tematu

• Doppler — zadanie: źródło zbliża się do nieruchomego odbiornika
• Doppler — zadanie: obserwator zbliża się do nieruchomego źródła

Dalsza lektura

Materiał referencyjny