Potencjał, praca i znak ładunku w polu elektrycznym

Potrzebne wiadomości: Energia, praca, ładunek i jednorodne pole elektryczne.

Potencjał opisuje miejsce, energia także ładunek

Dwa różne ładunki umieszczamy kolejno w tym samym punkcie pola. Potencjał tego punktu jest ten sam, ale energie potencjalne nie muszą być równe. Oznaczmy potencjał przez φ i przyjmijmy wspólne zero energii. Energia ładunku q wynosi qφ; napięcie jest różnicą potencjałów, a nie porcją energii samo w sobie.

Przy przejściu z punktu A do B najpierw liczymy końcowy potencjał minus początkowy:

\Delta E_p=q(\varphi_B-\varphi_A),\qquad W_{\mathrm{pola}}=-\Delta E_p=q(\varphi_A-\varphi_B).

Jednostki potwierdzają sens: C · V = J. Praca pola i zmiana energii potencjalnej mają przeciwne znaki. Gdy tylko siła elektryczna wykonuje pracę, praca ta jest jednocześnie przyrostem energii kinetycznej. Jeśli ktoś przesuwa ładunek bardzo powoli, trzeba uwzględnić jego pracę zewnętrzną; nie można wtedy całej zmiany energii przypisać rozpędzaniu.

Znak elektronu nie jest drobną poprawką

Ładunek +1 nC przenosimy z 20 V do 5 V. Różnica potencjałów wynosi −15 V, zatem ΔEₚ = −15 nJ i praca pola +15 nJ. Dla −1 nC na tej samej trasie otrzymujemy +15 nJ i −15 nJ. Ta sama geometria, ta sama wartość ładunku, ale odwrotny bilans. Ujemny ładunek nie zyska sam energii kinetycznej na tej trasie, startując ze spoczynku i pod działaniem wyłącznie pola.

Elektron przyspieszany od spoczynku ku potencjałowi wyższemu o 8 V traci natomiast 8 eV energii potencjalnej i zyskuje 8 eV energii kinetycznej. Elektronowolt jest jednostką energii: 1 eV = 1,60 · 10⁻¹⁹ J przy użytym zaokrągleniu e. W tym przykładzie przyrost energii kinetycznej to 1,28 · 10⁻¹⁸ J. Nie należy odczytywać „8 eV” jako napięcia 8 V.

Praca zależy od końców, nie od kształtu drogi

W polu elektrostatycznym siła jest zachowawcza. Dla tych samych punktów A i B całkowita praca jest taka sama na prostej i na drodze z zakrętami. W polu jednorodnym siła qE ma stały kierunek; pracę wykonuje tylko składowa przesunięcia w tym kierunku. Dla dodatniej odległości d zgodnej z E potencjał maleje o Ed. Przejście poprzeczne, po powierzchni ekwipotencjalnej, nie zmienia potencjału ani energii.

Na przykład w polu 500 N/C przechodzimy o 0,030 m zgodnie z E, a potem dowolnie daleko poprzecznie. Końcowa zmiana potencjału wynosi −15 V. Dla +2 nC daje to pracę pola +30 nJ. Długość całej łamanej nie jest d we wzorze qEd: d opisuje tu przesunięcie wzdłuż pola.

Zero potencjału wybieramy, różnicę mierzymy

Dodajmy 100 V do obu potencjałów w pierwszym przykładzie. Punkty 20 V i 5 V stają się punktami 120 V i 105 V. Różnica nadal wynosi −15 V. Zmieniło się umowne zero, nie pole, praca ani przewidywany ruch. Przed obliczeniem warto zatem zapisać kolejno: początek, koniec, znak q, różnicę potencjałów i dopiero zmianę energii.

Warsztat: czy ładunek w ogóle dotrze do wskazanego miejsca?

Wzór na pracę pola nie jest gwarancją, że dowolnie wybrana cząstka przejdzie dowolną trasę. Dla ustalonego elektrostatycznego pola i pomijalnej reakcji cząstki na jego źródła bilans daje:

E_{k,B}=E_{k,A}-q(\varphi_B-\varphi_A).

Elektron ma początkowo 10 eV energii kinetycznej i porusza się wzdłuż prostej, na której potencjał monotonicznie maleje. Chcemy, żeby dotarł do miejsca o potencjale niższym o 15 V. Dla q=−e wzrost energii potencjalnej wyniósłby +15 eV. Rachunek końcowy dałby −5 eV energii kinetycznej. Nie jest to stan elektronu: zabrakło mu energii, więc zawróci wcześniej. W tym jednowymiarowym modelu pierwszy postój występuje po spadku potencjału o 10 V.

Zmieniamy tylko znak cząstki, pozostawiając początkowe 10 eV i tę samą różnicę potencjałów. Ładunek +e traci 15 eV energii potencjalnej i może mieć na końcu 25 eV energii kinetycznej. Wyższy lub niższy potencjał sam w sobie nie rozstrzyga o rozpędzaniu. Potrzebny jest znak q.

Warunek Eₖ≥0 musi być spełniony wzdłuż rzeczywistej trajektorii. Dodatni hipotetyczny wynik na końcu nie usuwa ewentualnej bariery po drodze. Przy ruchu wielowymiarowym samo skalarnie zapisane prawo zachowania energii nie wyznacza też kształtu toru. Dlatego w tym przykładzie jawnie narzuciliśmy ruch jednowymiarowy i monotoniczny potencjał.

Kontrola jednostek

Przejście ładunku +2 nC przez różnicę −3 V daje zmianę energii −6 nJ. Ten sam rachunek w podstawowych jednostkach to (2·10⁻⁹ C)(−3 J/C)=−6·10⁻⁹ J. Przedrostek nano nie znika podczas mnożenia.

Zadania do tego tematu

• Dodatni ładunek przechodzi do niższego potencjału
• Elektron przyspiesza ku wyższemu potencjałowi
• Zmiana zera potencjału nie zmienia pracy
• Przemieszczenie wzdłuż i w poprzek jednorodnego pola

Dalsza lektura

Materiał referencyjny