Naładowana kula: pole i potencjał w izolatorze oraz przewodniku

Potrzebne wiadomości: Prawo Gaussa, objętość kuli, potencjał i praca pola; prosta całka oznaczona, pochodna i sens energii potencjalnej qV.

Dwa rozkłady o tych samych Q i R

Pierwszy model to nieruchomy ładunek rozłożony jednorodnie w objętości kuli o promieniu R. Można myśleć o ładunkach unieruchomionych w izolatorze; pomijamy dodatkową polaryzację materiału, czyli pole liczymy jak w próżni. Nie zakładamy, że każda rzeczywista kula izolacyjna ma ten rozkład. Jest on warunkiem modelu.

Drugi model to odizolowana, pełna kula przewodząca w równowadze elektrostatycznej, bez zewnętrznych źródeł. Swobodne ładunki przemieszczałyby się, gdyby wewnątrz pozostało pole. W równowadze E = 0 wewnątrz, a nadmiarowy ładunek leży na powierzchni. Symetria sferyczna zapewnia jednakową gęstość powierzchniową.

Przyjmujemy Q > 0, ε₀ = 8,85·10⁻¹² F/m i k = 1/(4πε₀) ≈ 8,99·10⁹ N·m²/C². Odległość r mierzymy od środka. Eᵣ to składowa radialna skierowana dodatnio na zewnątrz. Dla ujemnego Q znaki Eᵣ i V odwracają się.

Ładunek wewnątrz mniejszej sfery

Jednorodna gęstość wynosi ρ = Q/(4πR³/3). Sfera Gaussa o promieniu r < R zamyka część objętości w stosunku (r/R)³:

Q_{\mathrm{wew}}(r)=Q\left(\frac rR\right)^3.

Nie podstawiamy całego Q. Z symetrii pole jest radialne i jednakowe na sferze; prawo Gaussa daje Eᵣ4πr² = Q_wew/ε₀. Po podzieleniu pozostaje jedna potęga r:

E_r(r)=\frac{kQr}{R^3}\quad(0\le r\lt R).

W środku pole znika i rośnie liniowo do powierzchni. Dla r > R zamykamy już cały ładunek:

E_r(r)=\frac{kQ}{r^2}\quad(r>R).

Obie granice przy r = R dają kQ/R². Nie ma osobnej warstwy ładunku powierzchniowego, dlatego pole nie skacze. Jego nachylenie jednak się zmienia: z dodatniego wewnątrz na ujemne na zewnątrz. Maksimum leży na powierzchni.

W przewodniku pole ma skok

Dla przewodnika w równowadze E = 0 wewnątrz. Na zewnątrz ponownie Eᵣ = kQ/r². Skok odpowiada powierzchniowej gęstości ładunku:

E_r(R^+)-E_r(R^-)=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\qquad\sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}.

R⁺ i R⁻ oznaczają podejście odpowiednio z zewnątrz i od wewnątrz. W idealnym modelu warstwy o zerowej grubości nie przypisujemy jednego ciągłego E dokładnie na niej. Skończone pozostają obie jednostronne granice. Nie należy mylić skoku z nieskończonym polem.

Potencjał obliczamy z ustalonym zerem

Przyjmujemy V(∞) = 0. Na zewnątrz obu kul całka pola daje V(r) = kQ/r, a na powierzchni V(R) = kQ/R. Wewnątrz jednorodnego rozkładu dodajemy całkę od r do R:

V(r)=V(R)+\int_r^R E_r(s)\,ds.

V(r)=\frac{kQ}{R}+\frac{kQ}{2R^3}(R^2-r^2).

V(r)=\frac{kQ}{2R}\left(3-\frac{r^2}{R^2}\right)\quad(r\le R).

Litera s jest zmienną całkowania. Kontrolę znaku daje pochodna −dV/dr = kQr/R³. Potencjał maleje na zewnątrz zgodnie ze zwrotem pola. W środku V(0) = 3kQ/(2R), choć E(0) = 0. Zerowe pole w punkcie nie wymusza zerowego potencjału.

W przewodniku E = 0 na całej drodze wewnętrznej, więc V pozostaje równe kQ/R. Potencjał obu modeli jest ciągły na powierzchni. W przewodniku zmienia się jego nachylenie, zgodnie ze skokiem pola; nie występuje skok samego V.

Przykład i znak pracy

Dla R = 0,10 m i Q = 4,0 nC jednorodny rozkład daje E(R) ≈ 3,60·10³ V/m, E(R/2) ≈ 1,80·10³ V/m, V(R) ≈ 360 V oraz V(0) ≈ 540 V. Przewodząca kula ma na zewnątrz te same wartości, ale w środku E = 0 i V ≈ 360 V. Obliczenia korzystają z tego samego ε₀; wyniki zaokrąglamy dopiero na końcu.

Dla małego ładunku próbnego q, który nie zmienia źródła, energia potencjalna zmienia się o q[V(B) − V(A)]. Praca pola ma przeciwny znak:

W_{\mathrm{pole}}=q[V(A)-V(B)].

Przy powolnym przeniesieniu bez zmiany energii kinetycznej praca zewnętrzna wynosi W_zew = q[V(B) − V(A)]. Dodatni ładunek przemieszczany na zewnątrz traci energię potencjalną: pole wykonuje dodatnią pracę, a zewnętrzny czynnik może energię odebrać. Potencjał nie jest energią w dżulach; trzeba go pomnożyć przez ładunek.

Gęstość zależna od promienia

Symetria sferyczna nie wymaga stałego ρ. Dla ρ zależnego wyłącznie od promienia dzielimy objętość na cienkie powłoki o polu 4πs² i grubości ds:

Q_{\mathrm{wew}}(r)=4\pi\int_0^r\rho(s)s^2\,ds.

Następnie używamy Eᵣ = kQ_wew/r². Skrót Q(r/R)³ dotyczył wyłącznie stałej gęstości. Zmiana profilu ρ zmieni pole i potencjał wewnętrzny, choć zewnętrzne pole nadal zależy wyłącznie od całkowitego Q. Pomiar na zewnątrz nie rozróżni wszystkich sferycznie symetrycznych rozkładów o tym samym ładunku.

Uzupełniająca lektura: potencjał rozkładów ładunku w podręczniku OpenStax. Zwróć uwagę na poziom odniesienia oraz różnicę między potencjałem i energią potencjalną.

Zadania do tego tematu

• Naładowana kula — zadanie: porównanie izolatora i przewodnika
• Naładowana kula — zadanie: praca przy przejściu przez powierzchnię
• Naładowana kula — zadanie: gęstość rośnie z odległością od środka

Dalsza lektura

Materiał referencyjny