Moment pędu: dlaczego zmiana kształtu może przyspieszyć obrót?

Potrzebne wiadomości: Moment bezwładności, energia ruchu obrotowego, układ izolowany.

Nie mylmy pędu z momentem pędu

Dla punktu materialnego \vec L=\vec r\times\vec p. Dla obrotu wokół ustalonej osi symetrii składowa momentu pędu ma postać L=I\omega. Jej jednostką jest kg·m²/s. Zewnętrzny moment zmienia L: \Delta L=\int M_{zew}\,dt. Gdy jego składowa względem rozpatrywanej osi jest zerowa, ta składowa L pozostaje stała.

Przy zmianie rozkładu mas stosujemy I_1\omega_1=I_2\omega_2, a nie wzór ze stałym I i α. Zmniejszenie I do połowy podwaja ω. Moment pędu zachowuje zwrot, o ile nie działa zewnętrzny impuls momentu.

Co z energią?

Przy ustalonym L energia wynosi E_k=L^2/(2I). Malejące I zwiększa tę energię. Dla I zmienionego z 4 do 2 kg·m² przy początkowej ω=1 rad/s końcowa ω=2 rad/s; energia rośnie z 2 do 4 J. Różnica pochodzi z pracy przyciągającej masy, a nie z naruszenia zachowania energii całego układu.

Przy zderzeniu obrotowym moment pędu może być zachowany mimo utraty części energii mechanicznej. Warunek dotyczy zewnętrznych momentów i właściwie wybranego układu. Obracanie się nie jest dowodem, że wszystkie składowe momentu pędu są zawsze zachowane.

Co zachowuje się podczas przyciągania ramion?

Obracająca się osoba przyciąga ramiona i zaczyna obracać się szybciej. Nie potrzeba do tego dodatkowego pchnięcia z zewnątrz. Potrzeba jednak pracy mięśni. Te dwa zdania nie przeczą sobie, bo warunek braku zewnętrznego momentu sił dotyczy momentu pędu, a nie każdej możliwej postaci energii. Zanim użyjemy prawa zachowania, określamy układ: osobę wraz z poruszanymi ramionami, a nie sam tułów.

Dla obrotu wokół stałej osi symetrii można zapisać L=Iω. W bardziej ogólnym ruchu bryły moment pędu jest wektorem, który nie zawsze jest równoległy do ω; tutaj wybieramy prostszy model osiowy. Moment sił zewnętrznych zmienia L według dL/dt=M_zewn. Gdy taki moment pomijamy, iloczyn Iω pozostaje stały również wtedy, gdy wewnętrzny mechanizm zmienia I. Nie korzystamy wtedy z uproszczonego M=Iα dla niezmiennego I.

Przykład: rachunek obrotu i energii

Układ ma początkowo I₁=0,60 kg·m² i ω₁=2 rad/s. Zatem L=1,20 kg·m²/s. Mechanizm przesuwa masy bliżej osi i zmniejsza I₂ do 0,20 kg·m². Końcowa prędkość wynosi L/I₂=6 rad/s. Trzykrotnie mniejsze I wymaga trzykrotnie większego ω, aby ten sam moment pędu pozostał w układzie. To nie twierdzenie, że samo zmniejszenie dowolnego rozmiaru zawsze potraja szybkość — liczy się rzeczywista zmiana I.

Początkowa energia obrotu wynosi 0,60·2²/2=1,20 J, końcowa 0,20·6²/2=3,60 J. Przyrost 2,40 J pochodzi z pracy mechanizmu. Możemy sprawdzić to przez postać E=L²/(2I): przy ustalonym L energia rośnie odwrotnie proporcjonalnie do I. Gdy układ rozsuwa masy, energia obrotu maleje; może zostać odebrana przez mechanizm, zmagazynowana albo rozproszona, zależnie od sposobu rozsuwania.

Dlaczego siły wewnętrzne mogą wykonać pracę?

Siły oddziaływania dwóch części układu mogą być równe i przeciwne, ale działają w różnych punktach. Jeżeli punkty te mają różne przemieszczenia, suma ich prac nie musi wynosić zero. Przykładem jest ściskanie sprężyny: siły wewnętrzne nie nadają całemu zamkniętemu układowi dowolnego pędu, lecz energia sprężystości może się zmieniać. Tak samo ruch ramion zmienia podział energii, choć nie dostarcza momentu pędu z zewnątrz.

W biologicznym przykładzie energia chemiczna organizmu maleje, a energia ruchu i ciepło mogą rosnąć. W mechanicznym modelu można zamiast mięśni użyć silnika z akumulatorem. Zachowanie całkowitej energii dotyczyłoby pełnego bilansu z akumulatorem, ogrzewaniem i ewentualnymi stratami. Zachowanie samej energii kinetycznej byłoby dodatkowym założeniem, które nie pasuje do aktywnego przesuwania mas.

Przykład: gdy moment zewnętrzny jednak działa

Niech L₁=+3 kg·m²/s, a przez 2 s działa stały moment −2 N·m. Zmiana wynosi ΔL=MΔt=−4 kg·m²/s, więc L₂=−1 kg·m²/s. Znak mówi o odwróceniu zwrotu. Moment pędu przechodzi przez zero po 1,5 s. Jeżeli moment pozostaje ujemny po tej chwili, układ zaczyna obracać się w przeciwną stronę. Nie ma podstaw do zastosowania L₁=L₂, skoro właśnie podano przyczynę jego zmiany.

Jednostka impulsu momentu, N·m·s, upraszcza się do kg·m²/s, tej samej co L. Dla zmiennego momentu potrzebujemy pola pod wykresem M(t), ze znakiem. Znajomość samego końcowego L nie wystarczy do obliczenia energii, jeżeli nie znamy końcowego I. Dwa różne układy mogą mieć ten sam moment pędu i różną energię kinetyczną, dokładnie jak dwa ciała o różnych masach przy tym samym pędzie liniowym.

Oś, układ i pytanie kontrolne

W każdym zadaniu sprawdzamy momenty zewnętrzne względem tej samej osi, względem której wyznaczamy L. Siła ciężkości może być niezerowa, lecz mieć zerowy moment wokół pionowej osi przez środek; opór łożyska może być mały, ale nie dokładnie zerowy. Sprawdź się: dla ustalonego L podwajamy I. Odpowiedź: ω maleje dwukrotnie, energia obrotu również maleje dwukrotnie. Nie maleje czterokrotnie, bo jednocześnie zmieniło się I we wzorze Iω²/2.

Co oznacza L = Iω, gdy zmienia się kształt układu?

W tej lekcji L oznacza składową momentu pędu względem rozpatrywanej osi. W modelu obrotu wokół stałej osi, bez dodatkowego ruchu obwodowego względem konstrukcji, jest ona równa Iω. Dla dowolnego obrotu niesymetrycznej bryły pełny wektor momentu pędu nie musi być równoległy do wektora prędkości kątowej; prosty zapis skalarny nie zastępuje wtedy pełnego opisu. Dla naszej osi obowiązuje:

M_{\mathrm{zew}}=\frac{dL}{dt}=\frac{d(I\omega)}{dt}=I\frac{d\omega}{dt}+\omega\frac{dI}{dt}.

Gdy I maleje, nie wolno użyć samego M=Iα. Nawet przy M_zew=0 prędkość kątowa może rosnąć, bo drugi składnik kompensuje pierwszy. Z zachowania Iω dostajemy ω₂=I₁ω₁/I₂. Energia obrotu E_obr=L²/(2I) wtedy wzrasta. Porównujemy stany, w których ciężarki nie przesuwają się już promieniowo; podczas samego wciągania mogą dodatkowo mieć energię ruchu promieniowego. Nie ukrywamy jej w Iω²/2.

Zadania do tego tematu

• Zmniejszenie momentu bezwładności i koszt energetyczny
• Impuls momentu zmienia kierunek obrotu
• Praca mięśni nie jest zewnętrznym momentem

Dalsza lektura

Materiał referencyjny