Impuls momentu zmienia kierunek obrotu

Rozwiązanie

Liczymy impuls momentu

Początkowy moment pędu ma znak dodatni: L₁=+3 kg·m²/s. Stały moment −2 N·m działa przez 2 s, więc zmiana ΔL=MΔt=−4 kg·m²/s. Jednostka N·m·s jest równa kg·m²/s. Zmianę dodajemy do początkowego stanu, nie traktujemy jej od razu jako stanu końcowego.

Stan końcowy i zwrot

L₂=3−4=−1 kg·m²/s. Ujemny znak oznacza zwrot przeciwny do początkowego. Moment pędu osiągnął zero po 3/2=1,5 s; przez ostatnie 0,5 s narzucony ujemny moment zwiększał jego wartość w przeciwnym zwrocie.

Pole pod wykresem momentu jest zmianą L

\Delta L=M_{\mathrm{zew}}\Delta t=(-2\,\mathrm{N\,m})(2\,\mathrm s)=-4\,\mathrm{kg\,m^2/s},\qquad L_2=L_1+\Delta L=3-4=-1\,\mathrm{kg\,m^2/s}.

Prostokąt na wykresie M(t) leży pod osią czasu, dlatego jego wkład jest ujemny. Nie jest to wykres pracy M(φ): na osi poziomej jest czas. Zerowy moment pędu pojawia się po 1,5 s; stały moment działa jeszcze przez pół sekundy.

Wynik

L_2=3+(-2)\cdot2=-1 kg·m²/s. Końcowy zwrot jest przeciwny do początkowego. Nie wolno stosować zachowania momentu pędu, skoro podano niezerowy moment zewnętrzny.

Sprawdzamy warunki opisu

To nie jest sytuacja zachowania L, ponieważ w treści wyraźnie podano moment zewnętrzny. Nie znamy I, więc nie obliczymy liczbowej końcowej prędkości kątowej ani energii. Jeśli I byłoby stałe, ω₂ miałoby znak ujemny, ale jego wartość wynosiłaby 1/I w odpowiednich jednostkach.

Wariant: gdyby działanie momentu zakończyć po 1 s, L wyniosłoby +1 kg·m²/s: układ obracałby się nadal w pierwotnym zwrocie, lecz z mniejszym momentem pędu. Działanie momentu przeciwnego do L nie oznacza natychmiastowej zmiany zwrotu. Przy rzeczywistym hamulcu należy dodatkowo sprawdzić, czy po zatrzymaniu utrzyma się narzucony moment; tutaj stały znak momentu jest warunkiem zadania.

Dodatkowa kontrola

Przy przykładowym stałym I=0,50 kg·m² prędkości wyniosłyby początkowo 6 rad/s, końcowo −2 rad/s. Energie 9 J i 1 J różniłyby się o −8 J. Mimo nieprzerwanego ujemnego momentu, po odwróceniu obrotu jego chwilowa moc stałaby się dodatnia: znak pracy zależy również od zwrotu ruchu, a nie tylko od znaku momentu.

Powiązana teoria

Moment pędu: dlaczego zmiana kształtu może przyspieszyć obrót?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny