Praca mięśni nie jest zewnętrznym momentem

Rozwiązanie

Rozdzielamy dwie zasady

Uczeń poprawnie rozpoznaje brak istotnego zewnętrznego pchnięcia, ale wyciąga z niego zbyt daleki wniosek. Dla obrotu istotny jest brak momentu zewnętrznego względem osi. Zapewnia on stałość L=Iω. Energia obrotu E=Iω²/2 jest inną wielkością i może wymieniać energię z wewnętrznym mechanizmem.

Co dzieje się po zmniejszeniu I?

Z ω=L/I otrzymujemy E=L²/(2I). Przy stałym L mniejsze I daje większą energię obrotu. Ramiona nie przesuwają się same: mięśnie wykonują pracę, czerpiąc energię z procesów zachodzących w organizmie. Siły wewnętrzne mogą wykonać pracę, ponieważ ich punkty przyłożenia przemieszczają się w różny sposób.

Skąd bierze się wzrost energii przy stałym L?

E_{\mathrm{obr}}=\frac12 I\left(\frac LI\right)^2=\frac{L^2}{2I},\qquad \frac{E_2}{E_1}=\frac{I_1}{I_2}.

Najpierw zastąpiliśmy ω przez L/I, a potem skróciliśmy jedno I. Nie założyliśmy dopływu momentu pędu. Przy ruchu ramion do osi siła mięśni może wykonywać pracę, bo ich przemieszczenie nie jest wyłącznie styczne. Po zakończeniu wciągania energia tego ruchu promieniowego znika, ale koszt energetyczny organizmu pozostaje w całkowitym bilansie.

Wynik

Brak zewnętrznego momentu zachowuje moment pędu, nie samą energię kinetyczną. Mięśnie wykonują pracę, zmieniając rozkład mas; energię dostarcza organizm. Całkowity bilans uwzględnia tę energię wewnętrzną. Przybliżenie pomija tarcie łożysk, a nie fizjologiczny koszt ruchu.

Liczbowy model kontrolny

Przykładowo I₁=0,60 kg·m² i ω₁=2 rad/s dają L=1,20 i E₁=1,20 J. Po zmianie I₂=0,20 prędkość wynosi 6 rad/s, energia 3,60 J. Moment pędu jest ten sam, przyrost energii 2,40 J ma źródło w pracy mechanizmu. Liczby ilustrują rozumowanie, a nie są pomiarem konkretnej osoby.

Wniosek: brak zewnętrznego momentu wyklucza dopływ momentu pędu, nie każdą przemianę energii wewnątrz układu. Gdyby ciało zachowało również stałe I, stałość L wymuszałaby stałe ω i energię obrotu. Kluczową różnicą w opisanym przykładzie jest właśnie zmiana rozkładu masy przez aktywną pracę.

Dodatkowa kontrola

W tym procesie pojedynczy ciężarek może spiralnie zbliżać się do osi, więc jego ruch nie jest przez cały czas jednostajnym ruchem po jednym okręgu. Siła wciągająca ma składową zgodną z przemieszczeniem radialnym i może wykonywać pracę. Argument, że siła skierowana ku osi nigdy nie wykonuje pracy, dotyczy wyłącznie czysto stycznego przemieszczenia przy stałym promieniu.

Powiązana teoria

Moment pędu: dlaczego zmiana kształtu może przyspieszyć obrót?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny