Rozpędzanie bryły: moment siły, przyspieszenie kątowe i praca

Potrzebne wiadomości: Moment siły, moment bezwładności i jednostajnie zmienny ruch.

Równanie dla wybranej osi

Dla sztywnej bryły o stałym I, obracającej się wokół nieruchomej osi, suma momentów względem tej osi spełnia \sum M=I\alpha. Moment siły to M=rF\sin\theta, gdzie θ jest kątem między promieniem wodzącym a siłą. Wybieramy dodatni zwrot obrotu; moment przeciwny ma znak ujemny. Siła skierowana wzdłuż promienia ma zerowy moment.

Przy stałym momencie wypadkowym przyspieszenie kątowe jest stałe: \omega=\omega_0+\alpha t, a \Delta\varphi=\omega_0t+\alpha t^2/2. Kąty w tych równaniach wyrażamy w radianach. Jeden obrót to 2π rad.

Praca i moc

Stały moment wykonuje pracę W=M\Delta\varphi, a moc chwilowa wynosi P=M\omega. Praca wszystkich momentów zmienia energię I\omega^2/2. Dla I=0,20 kg·m² i momentu wypadkowego 0,60 N·m dostajemy α=3 rad/s². Po 2 s od spoczynku ω=6 rad/s, kąt wynosi 6 rad, a praca i przyrost energii są równe 3,6 J.

Moment tarcia trzeba odjąć od momentu napędzającego. Podczas hamowania moment i prędkość mają przeciwne znaki, więc moc działająca na bryłę jest ujemna. Równania ze stałym α kończymy w chwili zatrzymania, jeżeli fizyczny hamulec później tylko utrzymuje spoczynek.

Najpierw wybierz zwrot dodatni

Silnik napędza koło, hamulec przeciwdziała obrotowi. Obie części wywierają momenty, ale w równaniu ruchu potrzebujemy ich sumy ze znakami. Przyjmijmy początkowy zwrot obrotu jako dodatni. Wtedy moment silnika jest dodatni, oporów ujemny. To analogia do wózka ciągniętego w jedną stronę i hamowanego w drugą: przyspieszenia nie wyznacza sama siła napędowa. Równanie obrotu działa względem wskazanej osi, dla bryły o stałym momencie bezwładności.

Promień, siła i kąt jej działania określają moment. Siła styczna F na brzegu koła daje FR, a ta sama siła skierowana przez oś nie daje momentu względem niej. Łożysko może wywierać dużą siłę i równocześnie zerowy moment względem idealnej osi. W rachunku nie pomijamy takiej siły dlatego, że „nie istnieje”, lecz dlatego, że jej ramię jest zerowe. Tarcie w rzeczywistym łożysku może już wymagać osobnego momentu oporowego.

Przykład: wirnik ze stałym oporem

Niech I=0,25 kg·m², napęd daje 1,20 N·m, a opór 0,20 N·m. Wypadkowa wynosi 1,00 N·m, więc α=1/0,25=4 rad/s². Jeżeli wirnik startuje od spoczynku i te warunki nie zmieniają się przez 3 s, ω=αt=12 rad/s, a kąt φ=αt²/2=18 rad. Rad jest stosunkiem dwóch długości, ale pozostawiamy go w zapisie, aby odróżnić prędkość kątową od zwykłej częstości obrotów.

Praca napędu wyniosła 1,20·18=21,6 J. Opory wykonały −0,20·18=−3,6 J. Różnica 18 J zgadza się z Iω²/2=0,25·144/2=18 J. Rachunek energetyczny sprawdza nie tylko końcową szybkość, lecz również to, czy do bilansu weszły opory. Użycie samego momentu silnika dałoby zbyt duże α, ω i energię. Nie da się tego naprawić przez dopisanie straty dopiero po policzeniu błędnego ruchu.

Przykład: hamowanie i granica wzoru

Koło o I=0,50 kg·m² obraca się z 8 rad/s. Moment hamulca ma 2 N·m przeciwnie do obrotu, więc α=−4 rad/s². Z ω=8−4t dostajemy zatrzymanie po 2 s. W tym czasie φ=8·2−4·2²/2=8 rad, około 1,27 obrotu. Praca hamulca −16 J usuwa dokładnie początkową energię 16 J. Kąt zatrzymania jest dodatni, mimo ujemnego przyspieszenia: koło aż do końca obraca się w początkowym zwrocie.

Co stanie się po 2 s? Nie wolno bez namysłu przedłużyć ω=8−4t i ogłosić, że hamulec rozpędza koło wstecz. Zwykłe tarcie hamujące zmienia zwrot wraz z ruchem albo utrzymuje spoczynek, jeżeli wystarczy tarcie statyczne. Stały ujemny moment napędowy faktycznie mógłby odwrócić obrót, ale wtedy model opisuje silnik działający w narzuconym zwrocie, a nie zwykły hamulec. Równania obowiązują w zakresie, dla którego założenia są prawdziwe.

Moc to tempo wykonywania pracy

Przy małym obrocie dφ moment wykonuje pracę dW=M dφ. Dzieląc przez czas, otrzymujemy P=Mω dla chwilowych wartości. Moment 3 N·m przy 10 rad/s daje 30 W, przy 20 rad/s daje 60 W. Silnik nie musi zwiększać momentu, aby przy wyższej szybkości dostarczać większą moc. Podobnie stała siła działająca na coraz szybszy wózek wykonuje więcej pracy w każdej sekundzie.

Iloczyn ma znak. Moment zgodny z obrotem dostarcza energię, przeciwny ją odbiera. Jeśli moment zależy od kąta, pracy nie wyznaczymy jednym iloczynem Mφ, chyba że M jest właściwą wartością średnią po kącie. Jeśli α zależy od czasu, wzory dla jednostajnie zmiennego ruchu też wymagają zastąpienia całkowaniem. Najpierw rozpoznajemy stałe wielkości, dopiero później wybieramy krótszy wzór.

Sprawdź się

Wirnik z pierwszego przykładu ma po 3 s moc napędu 14,4 W i moc strat 2,4 W. Czy różnica 12 W jest jego przyrostem energii przez całe 3 s? Nie: to tempo przyrostu w końcowej chwili. Od spoczynku moc wypadkowa rosła liniowo od 0 do 12 W, więc średnia wynosiła 6 W, a praca 18 J. Ten wynik zgadza się z bilansem energii, który policzyliśmy niezależnie.

Dlaczego moment siły mnożymy przez kąt w radianach?

Dla małego obrotu punkt przyłożenia siły przebywa łuk ds=r dφ. Pracę wykonuje styczna składowa F_t, więc dW=F_tds=F_tr dφ. Iloczyn F_tr jest momentem M względem osi. Dlatego:

dW=M\,d\varphi,\qquad W=\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}M(\varphi)\,d\varphi.

Zależność ds=r dφ ma tę postać dla kąta w radianach. Obrót o 90° to π/2 rad, więc stały moment 2 N·m wykona pracę π J, a nie 180 J. Dla stałego I równanie M_wyp=I dω/dt można pomnożyć przez ωdt=dφ. Otrzymamy M_wypdφ=Iωdω; sumowanie prowadzi do W_wyp=I(ω₂²−ω₁²)/2. Tym sposobem prawo dynamiki i bilans energii opisują ten sam ruch. Moment mierzymy w N·m, a pracę w J: choć jednostki mają ten sam wymiar, moment i praca odpowiadają na różne pytania.

Zadania do tego tematu

• Silnik i przeciwny moment tarcia
• Ile obrotów do zatrzymania koła?
• Moc momentu przy dwukrotnie większej prędkości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny