Zmniejszenie momentu bezwładności i koszt energetyczny

Rozwiązanie

Wybieramy właściwe prawo zachowania

Pomijamy zewnętrzny moment sił względem osi obrotu. Układ obejmuje mechanizm i przesuwane masy, więc ich oddziaływania są wewnętrzne. Zachowuje się L=Iω, a nie automatycznie energia kinetyczna. Początkowo L=0,60·2=1,20 kg·m²/s.

Końcowa prędkość i dwie energie

Po zmniejszeniu I do 0,20 kg·m² prędkość wynosi ω₂=L/I₂=6 rad/s. Liczymy energie osobno, używając odpowiadających im momentów: E₁=0,60·2²/2=1,20 J, E₂=0,20·6²/2=3,60 J. Przyrost jest różnicą 2,40 J.

Moment pędu wyznacza najpierw końcową prędkość

I_1\omega_1=I_2\omega_2\ \Longrightarrow\ \omega_2=\frac{I_1}{I_2}\omega_1=\frac{0{,}60}{0{,}20}(2\,\mathrm{rad/s})=6\,\mathrm{rad/s}.

Iloraz I₁/I₂ nie ma jednostki. Następnie E₁=0,60·2²/2=1,20 J, E₂=0,20·6²/2=3,60 J i ΔE=2,40 J. Ten przyrost dotyczy energii obrotu między stanami początkowym i końcowym; podczas przesuwania ciężarków może jeszcze występować ich ruch promieniowy.

Wynik

L=1,20 kg·m²/s, więc ω₂=6 rad/s. Energie to 1,20 J i 3,60 J, a przyrost wynosi 2,40 J. Mechanizm wykonał dodatnią pracę; zachowanie L nie wymaga zachowania samej energii obrotu.

Skąd dodatkowa energia?

Mechanizm wykonuje dodatnią pracę podczas zmiany rozkładu mas. Brak momentu zewnętrznego nie oznacza braku pracy wewnętrznej i nie pozwala zastąpić równania I₁ω₁=I₂ω₂ równaniem równości energii. Dla stałego L możemy też użyć E=L²/(2I), co od razu pokazuje trzykrotny wzrost energii przy trzykrotnym spadku I.

Wariant: po ponownym rozsunięciu do I=0,60, przy nadal zachowanym L, ω wróciłoby do 2 rad/s i energia obrotu do 1,20 J. Uwolnione 2,40 J mogłoby zostać odebrane przez mechanizm albo rozproszone. To nie perpetuum mobile: pełny bilans musi objąć energię zasilania i straty. Liczbowa praca mechanizmu w pierwotnym zadaniu jest zmianą energii obrotu tylko przy pominięciu innych zmian energii.

Dodatkowa kontrola

Wprost można sprawdzić oba stany: 0,60·2=0,20·6=1,20. Użycie błędnego warunku równości energii dałoby ω₂=2√3 zamiast 6 rad/s i moment pędu mniejszy niż początkowy. Taki wynik wymagałby dodatkowego oddania momentu pędu na zewnątrz, którego treść nie dopuszcza. To pokazuje, jak odróżnić dwa pozornie podobne prawa zachowania.

Powiązana teoria

Moment pędu: dlaczego zmiana kształtu może przyspieszyć obrót?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny