Toczenie bez poślizgu: dwa składniki jednej energii

Potrzebne wiadomości: Energia mechaniczna, moment bezwładności, ruch po okręgu.

Warunek geometryczny

Na nieruchomym podłożu toczenie bez poślizgu spełnia v_C=\omega R. Punkt styku ma chwilowo zerową prędkość względem podłoża. Nie oznacza to, że cały walec jest nieruchomy. Jego energia to E_k=mv_C^2/2+I_C\omega^2/2, gdzie I liczymy względem środka masy.

Po zjeździe z wysokości h bez strat i od spoczynku: mgh=mv_C^2/2+I_Cv_C^2/(2R^2). Zatem v_C^2=2gh/(1+I_C/(mR^2)). Obręcz i tarcza o tej samej masie i promieniu nie uzyskają tej samej szybkości: tarcza ma mniejszą część energii w obrocie.

Rola tarcia

Na równi tarcie statyczne daje moment potrzebny do rozpędzania obrotu. Dla bryły o I_C=kmR^2 przyspieszenie środka wynosi a=g\sin\alpha/(1+k). Dla walca k=1/2. Tarcie nie musi osiągać maksymalnej wartości μₛN; wystarczy wartość wymagana przez równania ruchu, o ile mieści się w dostępnym zakresie.

W idealnym sztywnym styku z nieruchomą równią tarcie statyczne nie wykonuje pracy nad całą bryłą, bo punkt przyłożenia chwilowo spoczywa. Rzeczywisty opór toczenia i odkształcenia mogą rozpraszać energię. Przy poślizgu znika warunek v=ωR i trzeba rozwiązać osobno ruch postępowy oraz obrotowy.

Jedno koło, wiele prędkości

Koło jadące po drodze jednocześnie przesuwa środek i obraca się wokół niego. Te ruchy nie tworzą dwóch różnych kół; są wygodnym rozkładem ruchu tej samej bryły. Prędkość każdego punktu względem drogi jest sumą prędkości środka i prędkości tego punktu względem środka. Przy toczeniu bez poślizgu dolny punkt ma w danej chwili zerową prędkość względem nieruchomej drogi. Stąd v_C=ωR.

Jeżeli środek jedzie w prawo z 3 m/s, dolny punkt ma składową obrotową 3 m/s w lewo, więc suma wynosi zero. Górny ma składową obrotową 3 m/s w prawo i porusza się względem drogi z 6 m/s. Boczne punkty mają składowe prostopadłe, więc ich szybkość wynosi 3√2 m/s. Warunek v_C=ωR nie przypisuje jednakowej szybkości wszystkim punktom obręczy. Wspólna jest ich prędkość kątowa względem środka.

Energia: dlaczego dodajemy dwa składniki?

Sumując energie wszystkich fragmentów bryły, można oddzielić energię ruchu środka masy i energię ruchu względem niego. Wyrazy mieszane znikają dzięki definicji środka masy. Dlatego E_k=mv_C²/2+I_Cω²/2. Nie jest to podwójne policzenie tej samej energii: pierwszy człon nie uwzględnia obrotu wokół środka. Moment I_C musi być liczony względem osi środkowej użytej w tym rozkładzie.

Przy I_C=βmR² oraz ω=v_C/R otrzymujemy E_k=mv_C²(1+β)/2. Współczynnik β zależy od rozkładu masy:1/2 dla pełnego jednorodnego walca,1 dla cienkiej obręczy. Promień skraca się, ponieważ większy promień równocześnie zwiększa I i zmniejsza ω potrzebną do tej samej szybkości środka. Zniknięcie R w tym wyniku nie oznacza, że geometria w ogóle nie ma znaczenia — pozostaje w β.

Przykład: walec i obręcz z tej samej wysokości

Oba ciała startują od spoczynku z h=0,60 m. Przy g=10 m/s², bez strat i z zachowanym toczeniem, mgh=mv²(1+β)/2. Dla walca v²=12/1,5=8 m²/s², więc v≈2,83 m/s. Dla obręczy v²=12/2=6 i v≈2,45 m/s. Więcej energii na jednostkę v² trafia w obrót obręczy, dlatego jej środek porusza się wolniej na dole.

Nie trzeba znać mas, jeśli porównujemy idealne kształty o podanych β. Nie należy jednak wyciągać z tego wniosku o każdym rzeczywistym przedmiocie: pełna puszka, pusta puszka i puszka z przemieszczającym się płynem nie mają tego samego modelu. Odkształcenie, opór toczenia i poślizg mogą odbierać energię albo zmieniać związek v z ω. Założenia o sztywności i braku strat są częścią odpowiedzi.

Skąd bierze się obrót na równi?

Grawitacja przechodząca przez środek masy nie daje momentu względem tego środka. Moment potrzebny do rozpędzania obrotu daje tarcie statyczne skierowane w górę równi. Wzdłuż równi mg sinα−F_t=ma, a dla obrotu F_tR=I_Cα_kąt. Warunek toczenia wiąże a=α_kątR. Po podstawieniu F_t=βma, więc a=g sinα/(1+β). Dla walca F_t=mg sinα/3.

Statyczne tarcie nie musi mieć maksymalnej wartości μₛN. Najpierw liczymy wartość potrzebną do toczenia, potem sprawdzamy F_t≤μₛmg cosα. Dla walca daje to μₛ≥tanα/3; przy 30° około 0,1925. Większy współczynnik nie zwiększa automatycznie tarcia w tym samym ruchu. Zapewnia większy dopuszczalny zapas przed poślizgiem.

Czy tarcie może nie zabierać energii?

W idealnym toczeniu po nieruchomej sztywnej powierzchni punkt styku chwilowo nie przemieszcza się, więc tarcie statyczne nie wykonuje pracy nad całym ciałem w układzie drogi. Równocześnie zmienia podział energii między przesuwanie i obrót. Nie jest to ogólna teza, że każde tarcie statyczne zawsze ma zerową pracę; ruchoma taśma transportowa daje inny przykład. Sprawdź się: czy dolny punkt ma zerowe przyspieszenie? Nie wynika to z jego zerowej chwilowej prędkości. Przy jednostajnym toczeniu ma przyspieszenie skierowane ku środkowi koła.

Z trzech równań do przyspieszenia walca

Dla walca puszczonego ze spoczynku na równi bez dalszego popychania tarcie działa w górę równi. Oznaczmy kąt równi przez θ, przyspieszenie kątowe przez α, a wartość tarcia przez F_t. Dzięki dwóm literom nie pomylimy kąta z przyspieszeniem. Równanie ruchu środka, równanie obrotu i więź toczenia dają:

mg\sin\theta-F_t=ma,\qquad F_tR=I_C\alpha,\qquad a=\alpha R.

Z drugiego i trzeciego równania F_t=I_Ca/R². Wstawiamy to do pierwszego i wyłączamy a:

mg\sin\theta=a\left(m+\frac{I_C}{R^2}\right),\qquad a=\frac{g\sin\theta}{1+I_C/(mR^2)}.

Dla walca mianownik ma 3/2. Nie ustaliliśmy tarcia jako μₛN; obliczyliśmy siłę potrzebną do ruchu. Dopiero porównanie jej z granicą μₛN potwierdzi, czy więź toczenia jest możliwa. Kierunek tarcia wynika z tych konkretnych warunków. W kole napędzanym albo hamowanym może być inny.

Zadania do tego tematu

• Walec i obręcz z tej samej wysokości
• Prędkość najwyższego punktu toczącego się koła
• Minimalny współczynnik tarcia dla walca na równi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny