Prędkość najwyższego punktu toczącego się koła

Rozwiązanie

Dodajemy prędkości względem dwóch układów

Środek koła porusza się względem drogi z 3 m/s. Przy braku poślizgu ωR=3 m/s. Prędkość punktu obręczy względem drogi jest sumą wektora ruchu środka i wektora obrotu wokół niego. Wybierzmy ruch środka w prawo; obrót jest wtedy zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Dół i góra

Na dole prędkość obrotowa ma 3 m/s w lewo, więc równoważy 3 m/s w prawo: wypadkowa 0. Na górze oba wektory są w prawo:3+3=6 m/s. To chwilowe wartości dla punktów, które właśnie zajmują wskazane położenia.

Dolny i górny punkt: składanie ze znakami

v_{\mathrm{dol},x}=v_C-\omega R=3-3=0\,\mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{gor},x}=v_C+\omega R=3+3=6\,\mathrm{m/s}.

Oba składniki odnoszą się do wybranego zwrotu w prawo. Odejmowanie na dole wynika z kierunku prędkości obrotowej punktu, nie z arbitralnego wyboru wzoru. Wartości 0 i 6 m/s dotyczą punktów materialnych koła właśnie znajdujących się na dole i na górze.

Wynik

Punkt styku ma szybkość 0, a punkt najwyższy 6 m/s. Na górze oba wkłady prędkości mają ten sam zwrot, na dole przeciwne. Równość v_C=ωR nie mówi, że każdy punkt koła ma szybkość v_C.

Zero prędkości nie oznacza trwałego spoczynku

Ten sam fragment obręczy po chwili opuści punkt styku i zacznie się unosić. Nie pozostaje przyklejony do drogi. Jego chwilowe przyspieszenie może być niezerowe mimo zerowej prędkości. Sformułowanie „punkt styku” odnosi się w kolejnych chwilach do różnych punktów materialnych koła.

Wariant: w bocznym punkcie prędkość obrotowa jest pionowa, a postępowa pozioma. Szybkość wynosi wtedy √(3²+3²)=3√2≈4,24 m/s, nie 6 m/s. To kontrola, że dodajemy wektory, a nie zawsze ich wartości. Gdy droga lub taśma pod kołem porusza się, warunek zerowej prędkości styku trzeba odnieść do tej powierzchni, a nie automatycznie do ziemi.

Dodatkowa kontrola

Równość zerowej szybkości styku obowiązuje względem nieruchomej drogi. Obserwator jadący obok środka koła zobaczy dolny punkt poruszający się w lewo z 3 m/s, a górny w prawo z 3 m/s. To nie sprzeczność, tylko zmiana układu odniesienia. Podawanie samych liczb bez wskazania obserwatora czyniłoby odpowiedź niepełną.

Powiązana teoria

Toczenie bez poślizgu: dwa składniki jednej energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny