Minimalny współczynnik tarcia dla walca na równi

Rozwiązanie

Dwa równania dla jednego walca

Wzdłuż równi wybieramy zwrot w dół. Ciężkość daje mg sinα, tarcie statyczne F_t działa w górę. Zatem mg sinα−F_t=ma. Tarcie zapewnia moment F_tR=Iα_kąt. Dla I=mR²/2 i braku poślizgu α_kąt=a/R dostajemy F_t=ma/2.

Wymagane tarcie i dostępne tarcie

Podstawiając do równania postępowego, mamy a=2g sinα/3 i F_t=mg sinα/3. Siła normalna wynosi N=mg cosα. Toczenie jest możliwe, gdy F_t≤μₛN, więc μₛ≥tanα/3. Dla podanych wartości to 0,5/(3·0,866)≈0,1925.

Eliminujemy a, zanim sprawdzimy granicę tarcia

F_t=\frac{I_Ca}{R^2}=\frac{ma}{2},\quad mg\sin\theta=ma+\frac{ma}{2}=\frac32ma,\quad F_t=\frac13mg\sin\theta.

Kąt równi nazwaliśmy θ, żeby nie pomylić go z przyspieszeniem kątowym. Warunek Fₜ≤μₛmg cosθ dzielimy przez dodatnie mg cosθ. Dostajemy μₛ≥sinθ/(3cosθ)=tanθ/3≈0,1925. Nierówność, a nie równość Fₜ=μₛN, sprawdza cały zakres dopuszczalnego kontaktu.

Wynik

Tarcie ma wartość F_t=mg\sin\alpha/3. Stąd \mu_s\geq\tan\alpha/3\approx0{,}1925. To granica umożliwiająca toczenie w modelu. Większy współczynnik nie wymusza większej siły tarcia podczas tego samego ruchu.

Interpretujemy nierówność

To najmniejszy współczynnik wystarczający w idealnym modelu. Dla większego μₛ rzeczywiste tarcie nadal wynosi mg sinα/3, a nie maksymalne μₛN. Współczynnik wyznacza granicę, siłę potrzebną wyznacza ruch. Masa i g skracają się w porównaniu, dlatego nie trzeba ich znać liczbowo.

Wariant: na poziomej powierzchni α=0 i dla swobodnego toczenia z ustaloną prędkością nie potrzeba tarcia rozpędzającego obrót. Przy większym nachyleniu wymagany iloraz rośnie. Gdy rzeczywiste μₛ jest mniejsze od otrzymanej granicy, nastąpi poślizg i więź a=α_kątR przestanie obowiązywać; nie wolno dalej używać jej do liczenia przyspieszenia.

Dodatkowa kontrola

Dla g=10 m/s² przyspieszenie środka na tej równi wyniosłoby 10/3 m/s². Wymagane tarcie na kilogram masy to g sin 30°/3=5/3 N/kg, a nacisk na kilogram 8,66 N/kg. Ich iloraz ponownie daje około 0,1925. Ten rachunek liczbowy sprawdza, czy we wzorze nie pomylono sinusa z cosinusem.

Powiązana teoria

Toczenie bez poślizgu: dwa składniki jednej energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny