Walec i obręcz z tej samej wysokości

Rozwiązanie

Bilans energii z obrotem

Oba ciała startują od spoczynku. Pomijamy straty, a warunek braku poślizgu daje ω=v/R. Energia na dole ma dwa składniki: mv²/2 oraz Iω²/2. Po zapisaniu I=βmR² otrzymujemy mgh=mv²(1+β)/2. Masa i promień skracają się, lecz współczynnik β nadal opisuje kształt.

Podstawiamy dwa momenty bezwładności

Dla walca β=1/2: v²=2·10·0,60/(1+1/2)=8 m²/s². Dla obręczy β=1: v²=12/2=6 m²/s². Bierzemy dodatnie pierwiastki, bo pytanie dotyczy szybkości. Walec osiąga około 2,83 m/s, obręcz 2,45 m/s.

Wstawiamy więź toczenia do bilansu energii

mgh=\frac12mv^2+\frac12I_C\left(\frac vR\right)^2\ \Longrightarrow\ 2gh=v^2\left(1+\frac{I_C}{mR^2}\right).

Pomnożyliśmy obie strony przez 2/m i wyłączyliśmy v². Dla walca v²=(12 m²/s²)/(3/2)=8 m²/s², a dla obręczy v²=(12 m²/s²)/2=6 m²/s². Nie skracamy składnika obrotowego dlatego, że promień się skrócił: po nim pozostał współczynnik 1/2 albo 1.

Wynik

Dla walca v^2=12/(3/2)=8, czyli v≈2,83 m/s. Dla obręczy v²=12/2=6, czyli v≈2,45 m/s. Walec jest szybszy, mimo że masa skraca się w obu rachunkach.

Dlaczego wyniki nie są równe?

Przy tej samej szybkości środka obręcz potrzebuje większego udziału energii obrotowej. Z tej samej energii potencjalnej zostaje więc mniej na ruch środka. Gdyby pominąć obrót, otrzymalibyśmy √12≈3,46 m/s, wynik większy od obu poprawnych i opisujący inny model.

Wariant: czterokrotnie większa wysokość zwiększyłaby obie szybkości dwukrotnie, a ich stosunek pozostałby √(8/6)=√(4/3). Wynik wymaga utrzymania toczenia bez poślizgu. Brak strat energii nie dowodzi sam, że tarcie statyczne jest wystarczająco duże; to osobny warunek dynamiczny, który sprawdzamy przy zadaniach o współczynniku tarcia.

Dodatkowa kontrola

Dla walca na dole energia postępowa na kilogram masy wynosi v²/2=4 J/kg, a obrotowa βv²/2=2 J/kg. Razem 6 J/kg, czyli gh. Dla obręczy są to po 3 J/kg. Oba bilanse wykorzystują tę samą dostępną energię; różnią się jej podziałem, a nie całkowitą ilością.

Powiązana teoria

Toczenie bez poślizgu: dwa składniki jednej energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny