Moc momentu przy dwukrotnie większej prędkości

Rozwiązanie

Od pracy w obrocie do mocy

Przy małym obrocie dφ moment wykonuje pracę dW=M dφ. Dzieląc przez czas, otrzymujemy P=Mω. Podano moment 3 N·m i dwie chwilowe prędkości kątowe. Nie potrzebujemy I, jeśli pytanie dotyczy mocy przy wskazanej ω, a nie czasu osiągnięcia tej prędkości.

Dwa punkty pracy

Dla 10 rad/s moc wynosi 3·10=30 W, dla 20 rad/s 3·20=60 W. Dwa razy większa prędkość daje dwa razy większą moc przy tym samym momencie. W sekundzie koło obraca się o większy kąt, dlatego napęd wykonuje więcej pracy w tym samym czasie.

Praca i moc mają różne jednostki

P_1=(3\,\mathrm{N\,m})(10\,\mathrm{rad/s})=30\,\mathrm W,\qquad P_2=(3\,\mathrm{N\,m})(20\,\mathrm{rad/s})=60\,\mathrm W.

W oznacza tutaj wat w zapisie jednostki, a nie symbol pracy W. Radian jest bezwymiarowy, więc N·m/s=J/s. Do obu wyników użyliśmy tego samego momentu. Zwiększył się kąt pokonywany w sekundzie.

Wynik

Moce wynoszą 30 W i 60 W. Moment nie wzrósł; w sekundzie następuje większy obrót, więc wykonywana jest większa praca. Równanie P=Mω opisuje moc chwilową.

Czego nie wyznacza sam moment?

Nie wiemy, czy podane prędkości utrzymują się stale, czy są chwilami rozpędzania. Jeżeli jest to stan ustalony, inne momenty muszą równoważyć napęd. Jeżeli opory są mniejsze, koło zwiększa ω. W obu przypadkach wzór na chwilową moc napędu pozostaje poprawny. Jednostka N·m/s to J/s, czyli W.

Wariant: przy stałej mocy 30 W i ω=20 rad/s moment musiałby wynosić 1,5 N·m. Jest to inny warunek sterowania: stała moc nie oznacza stałego momentu. Przy zerowej prędkości skończony moment daje zerową moc mechaniczną w tej dokładnej chwili, choć silnik może pobierać energię i mieć straty elektryczne, których zadanie nie opisuje.

Dodatkowa kontrola

Jeżeli moment 3 N·m działa podczas obrotu o 5 rad, wykonuje pracę 15 J niezależnie od tego, jak długo trwa ten obrót. Wykonanie go w 0,5 s daje średnią moc 30 W, w 0,25 s — 60 W. To prosty sposób zobaczenia różnicy między pracą przypisaną do kąta a mocą przypisaną do czasu.

Powiązana teoria

Rozpędzanie bryły: moment siły, przyspieszenie kątowe i praca

Dalsza lektura

Materiał referencyjny