Ile obrotów do zatrzymania koła?

Rozwiązanie

Hamowanie ma przeciwny znak niż obrót

Przyjmujemy początkowe ω₀=+8 rad/s. Moment −2,0 N·m przy I=0,50 kg·m² daje α=−4 rad/s². Warunek zatrzymania to ω=0, więc 0=8−4t i t=2 s. Czas dodatni jest zgodny z tym, że moment odbiera początkowy moment pędu.

Obrót do chwili zatrzymania

Podstawiamy ten czas do φ=ω₀t+αt²/2. Dostajemy 16−8=8 rad. Alternatywnie średnia prędkość kątowa przy stałym α wynosi(8+0)/2=4 rad/s, więc przez 2 s kąt też wynosi 8 rad. Podzielenie przez 2π daje około 1,27 pełnego obrotu.

Najpierw rozwiązujemy warunek zatrzymania

0=\omega_0+\alpha t\ \Longrightarrow\ t=-\frac{\omega_0}{\alpha}=-\frac{8\,\mathrm{rad/s}}{-4\,\mathrm{rad/s^2}}=2\,\mathrm s,\qquad \Delta\varphi=\frac{\omega_0+0}{2}t=8\,\mathrm{rad}.

Dwa minusy dają dodatni czas. Wzór ze średnią prędkością kątową jest dozwolony, ponieważ przyspieszenie kątowe jest stałe. Liczbę obrotów dostajemy dopiero z Δφ/(2π rad)=4/π≈1,27; to jeden pełny obrót i część następnego.

Wynik

\alpha=-4 rad/s², zatem zatrzymanie nastąpi po 2 s. Kąt wynosi 8\cdot2-4\cdot2^2/2=8 rad, czyli około 1,27 obrotu. Bilans pracy: −2·8=−16 J, co usuwa początkową energię 16 J.

Energia i zakres modelu

Początkowa energia 0,50·8²/2=16 J zostaje odebrana przez pracę −2·8=−16 J. Dodatni kąt i ujemna praca są spójne, bo moment jest przeciwny do ruchu. Nie przedłużamy automatycznie wzoru po zatrzymaniu: zwykły hamulec nie powinien zacząć napędzać koła wstecz. Po tej chwili trzeba określić działanie oporów w spoczynku.

Wariant: dwukrotnie większa początkowa ω przy tym samym hamulcu dałaby dwukrotnie dłuższy czas 4 s, ale czterokrotnie większy kąt 32 rad. Energia również wzrosłaby czterokrotnie. Zależność kąta zatrzymania od kwadratu początkowej szybkości wynika z bilansu pracy, nie z samej proporcji czasów.

Dodatkowa kontrola

Impuls momentu hamującego wynosi −2·2=−4 kg·m²/s. Początkowy moment pędu to Iω=0,50·8=4 kg·m²/s, więc suma jest zerowa przy zatrzymaniu. Sprawdzenie momentu pędu oraz energii korzysta z różnych zależności, dlatego jest silniejsze niż ponowne podstawienie tego samego czasu do tego samego równania.

Powiązana teoria

Rozpędzanie bryły: moment siły, przyspieszenie kątowe i praca

Dalsza lektura

Materiał referencyjny