Silnik i przeciwny moment tarcia

Rozwiązanie

Sumujemy momenty ze znakami

Zwrot napędu wybieramy jako dodatni. Moment silnika wynosi +1,20 N·m, opór −0,20 N·m. Wypadkowy moment 1,00 N·m rozpędza wirnik o stałym I=0,25 kg·m². Z równania M_wyp=Iα otrzymujemy 4 rad/s². Stałość obu momentów i I pozwala użyć ruchu jednostajnie przyspieszonego kątowo.

Warunek początkowy i czas

Start od spoczynku oznacza ω₀=0. Po 3,0 s mamy ω=ω₀+αt=12 rad/s. Nie dzielimy tego przez 2π, ponieważ pytanie dotyczy prędkości kątowej w rad/s, nie liczby obrotów na sekundę. Gdyby potrzebna była ta druga wielkość, wyniosłaby około 1,91 Hz.

Od bilansu momentów do prędkości kątowej

\alpha=\frac{M_s-M_t}{I}=\frac{1{,}20\,\mathrm{N\,m}-0{,}20\,\mathrm{N\,m}}{0{,}25\,\mathrm{kg\,m^2}}=4\,\mathrm{rad/s^2},\qquad \omega=0+(4\,\mathrm{rad/s^2})(3{,}0\,\mathrm s)=12\,\mathrm{rad/s}.

Symbole Mₛ i Mₜ oznaczają dodatnie wartości momentu silnika i oporu. Minus w liczniku pochodzi z przeciwnych zwrotów. Radian pozostawiamy w wyniku, aby wskazać, że opisujemy kąt.

Wynik

\alpha=(1{,}20-0{,}20)/0{,}25=4 rad/s². Po 3 s prędkość wynosi 12 rad/s. Sam moment silnika dałby za duże przyspieszenie.

Kontrola przez pracę

Kąt wynosiφ=αt²/2=18 rad. Silnik wykonuje 21,6 J, a opory −3,6 J; wypadkowa praca 18 J zgadza się z Iω²/2. Jednostka momentu podzielonego przez I upraszcza się do 1/s², zgodnie z przyspieszeniem kątowym. Oporów nie można odjąć ponownie od uzyskanej energii 18 J, bo już uwzględniliśmy je w ruchu.

Wariant: gdyby opór wzrósł do 1,20 N·m przy tych samych warunkach, wypadkowy moment byłby zerowy. Wirnik startujący od spoczynku pozostałby nieruchomy; wirnik już obracający się zachowałby swoją ω w tym modelu. Równowaga momentów nie narzuca sama z siebie zerowej prędkości.

Dodatkowa kontrola

Moc silnika nie jest w tym rozpędzaniu stała. W końcowej chwili wynosi 1,20·12=14,4 W, a moc strat 0,20·12=2,4 W. Średnia moc wypadkowa podczas startu jest połową końcowych 12 W, czyli 6 W. Przez 3 s daje 18 J, potwierdzając wcześniejszy bilans pracy.

Powiązana teoria

Rozpędzanie bryły: moment siły, przyspieszenie kątowe i praca

Dalsza lektura

Materiał referencyjny