Moc promieniowania gwiazdy a jasność obserwowana

Potrzebne wiadomości: Moc, energia, pole kuli i proporcje.

Duża moc nie gwarantuje jasnego punktu na niebie

Daleki reflektor może dostarczyć do oka mniej światła niż bliska latarka. Tak samo gwiazda słaba na naszym zdjęciu nie musi emitować małej mocy. Najpierw rozdzielmy dwie wielkości. L to energia emitowana przez źródło w każdej sekundzie, czyli moc w watach. F to moc padająca na metr kwadratowy powierzchni prostopadłej do promieni, wyrażana w W/m². Słowo „jasność” bez tego dopowiedzenia łatwo prowadzi do nieporozumienia.

Skąd bierze się kwadrat odległości?

Otoczmy małe, izotropowo promieniujące źródło wyobrażoną sferą o promieniu d. Jeśli przestrzeń niczego nie pochłania, przez sferę przechodzi cała moc L. Ponieważ źródło wysyła ją jednakowo we wszystkich kierunkach, dzielimy ją przez pole sfery:

F=\frac{L}{4\pi d^2}.

Sfera o promieniu 2d ma cztery razy większe pole. Przez każdy jej metr kwadratowy przechodzi zatem cztery razy mniej energii w sekundzie. Nie zakładamy, że każdy foton po drodze zgubił trzy czwarte energii. W tym modelu zmniejsza się liczba fotonów przypadających na określone pole odbiornika; pełna moc przecinająca sferę pozostaje ta sama.

Porównanie dwóch gwiazd

Gwiazda B emituje dziewięć razy większą moc niż A, ale jest trzy razy dalej. W ilorazie znikają wspólne 4π oraz jednostki:

\frac{F_B}{F_A}=\frac{L_B}{L_A}\left(\frac{d_A}{d_B}\right)^2=9\left(\frac13\right)^2=1.

Obserwator otrzymuje jednakowe strumienie. To konkretny przykład niejednoznaczności: jedna zmierzona wartość F nie pozwala osobno wyznaczyć L i d. Jeśli niezależny pomiar poda d, wtedy L = 4πd²F. Błąd względny odległości przenosi się na moc z podwojoną wagą w przybliżeniu małych zmian.

Co odbierze detektor ustawiony ukośnie?

Przyjmijmy F = 8·10⁻⁷ W/m² oraz powierzchnię detektora 0,030 m². Ustawiony prostopadle do promieni odbiera P = FS = 2,4·10⁻⁸ W. W ciągu 100 s pada na niego 2,4·10⁻⁶ J energii. Teraz obróćmy detektor tak, aby normalna do powierzchni tworzyła z promieniami 60°. Pole widziane od strony źródła zmaleje do S cos 60° = S/2. Moc oraz energia zmaleją dwukrotnie, mimo że źródło i jego odległość się nie zmieniły.

To energia padająca. Jeżeli przyrząd zamienia na sygnał tylko część fotonów, sprawność detekcji trzeba uwzględnić osobno. Zwiększenie czasu zbierania energii nie zwiększa mocy źródła, podobnie jak większe wiadro nie powoduje silniejszego deszczu.

Co może udawać większą odległość?

Pył osłabia światło; strumień za warstwą o przepuszczalności τ wynosi τL/(4πd²). Nieznanej τ nie wyznaczymy z jednego pomiaru razem z nieznaną odległością. Równie ważne jest pasmo: moc całkowitą porównujemy ze strumieniem sumowanym po całym widmie, a moc w filtrze ze strumieniem w tym samym filtrze. Model wymaga także izotropii i odpowiednio dużej odległości od źródła. Skierowana wiązka lasera nie musi słabnąć według tego samego opisu w dowolnym obszarze przestrzeni.

Połącz pomiar strumienia z bilansem detektora

W praktyce droga rachunku może wyglądać tak: energia E zebrana w czasie t daje moc P = E/t; podzielenie przez prostopadłą powierzchnię S daje F = P/S; dopiero niezależna odległość pozwala przejść do L = 4πd²F. Każdy etap odpowiada innemu pytaniu. Warto narysować tę kolejność zamiast od razu wstawiać wszystkie liczby do jednego długiego wzoru.

Załóżmy, że detektor o S = 0,010 m² zebrał 2,0·10⁻⁷ J w 20 s. P = 1,0·10⁻⁸ W, następnie F = 1,0·10⁻⁶ W/m². Dla d = 1,0·10¹⁶ m otrzymamy L ≈ 1,26·10²⁷ W. Jeśli zwiększymy czas pomiaru dwukrotnie przy stałym źródle, zebrana energia też wzrośnie dwukrotnie, ale wyznaczone P, F i L pozostaną bez zmian.

Sprawdź jednostki na każdym przejściu: J/s = W, W/m² oraz (W/m²)·m² = W. Gdy wynik zależy od długości ekspozycji mimo poprawnie uwzględnionej energii, w rachunku pomieszano moc z energią.

Mała zmiana danych i duża zmiana interpretacji

Dla niewielkich zmian z L = 4πd²F wynika δL/L ≈ 2δd/d + δF/F. Ten zapis dotyczy zmian ze znakami. Przy niezależnych niepewnościach losowych nie dodajemy po prostu błędów ze znakami; w najprostszym modelu ich wariancje się sumują. Ważna obserwacja pozostaje ta sama: niepewność odległości ma podwojoną wagę. Nawet bardzo dokładny pomiar F nie naprawi źle znanego d ani nieznanego osłabienia przez pył.

Zadania do tego tematu

• Dwa razy dalsza gwiazda o czterokrotnie większej mocy
• Od strumienia i odległości do mocy modelowej gwiazdy
• Energia padająca na detektor o małej powierzchni
• Cztery razy słabszy sygnał: większa odległość czy przeszkoda?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny