Dwa razy dalsza gwiazda o czterokrotnie większej mocy

Rozwiązanie

Porównujemy to, co dociera do obserwatora

Przez F oznaczmy moc padającą na metr kwadratowy, a przez L — całą moc gwiazdy. W zadaniu L nie jest tym samym co F. Gwiazda B wysyła więcej energii w każdej sekundzie, ale ta energia rozchodzi się po większej powierzchni, zanim dotrze do obserwatora.

Zapiszmy dane bez wymyślania odległości w kilometrach: L_B = 4L_A i d_B = 2d_A. Dla każdego źródła z osobna stosujemy prawo odwrotnych kwadratów:

F_A=\frac{L_A}{4\pi d_A^2},\qquad F_B=\frac{4L_A}{4\pi(2d_A)^2}.

Gdzie znika czterokrotnie większa moc?

Najpierw podnosimy do kwadratu cały nawias: (2d_A)² = 4d_A². Nie wolno zastąpić go przez 2d_A². Teraz w liczniku i mianowniku drugiego ułamka występuje dodatkowy czynnik 4, który się skraca.

\frac{F_B}{F_A}=\frac{L_B}{L_A}\left(\frac{d_A}{d_B}\right)^2=4\left(\frac12\right)^2=1.

Obserwator otrzymuje jednakowe strumienie. Iloraz jest bezwymiarowy. Cztery razy więcej watów dzieli się przez cztery razy więcej metrów kwadratowych. Rysunek rozdziela te dwa czynniki; nie przedstawia rozmiarów samych gwiazd.

Jak sprawdzić ten wniosek?

Wyobraź sobie dwa jednakowe detektory ustawione prostopadle do promieni. Ponieważ P = FS, każdy odbierze taką samą moc. Jeśli zbierają światło przez ten sam czas, odbiorą również tę samą energię. To nadal nie znaczy, że gwiazdy mają jednakową moc: przy źródle B po innych kierunkach rozchodzi się znacznie więcej energii.

Spróbuj zmienić jedną daną: B jest nadal dwa razy dalej, ale ma tylko dwukrotnie większą moc. Wtedy F_B/F_A = 2/4 = 1/2. Ta odpowiedź pokazuje, że większa moc sama w sobie nie rozstrzyga o większym strumieniu.

Wniosek dotyczy promieniowania całkowitego, izotropowego i bez osłabienia po drodze. Dla pomiarów przez różne filtry dochodzi jeszcze rozkład energii po długościach fal.

Powiązana teoria

Moc promieniowania gwiazdy a jasność obserwowana

Dalsza lektura

Materiał referencyjny