Cztery razy słabszy sygnał: większa odległość czy przeszkoda?

Rozwiązanie

Najpierw rozwiązanie w przezroczystej przestrzeni

Wiemy, że L_A = L_B oraz F_B = F_A/4. Po podzieleniu dwóch zależności F = L/(4πd²) moc i czynnik 4π się skracają:

\frac14=\frac{F_B}{F_A}=\left(\frac{d_A}{d_B}\right)^2.

Odległości są dodatnie, więc wybieramy dodatni pierwiastek. Dostajemy d_A/d_B = 1/2, a zatem d_B/d_A = 2. Czterokrotne osłabienie nie oznacza czterokrotnie większej odległości: wzór zawiera jej kwadrat.

Dodajemy drugą możliwą przyczynę osłabienia

Niech τ oznacza część światła B przechodzącą przez pył, od 0 do 1. Zakładamy, że światło A nie jest osłabiane. Teraz ten sam zmierzony stosunek spełnia inne równanie:

\frac14=\tau\left(\frac{d_A}{d_B}\right)^2,\qquad \frac{d_B}{d_A}=2\sqrt{\tau}.

Dla τ = 1 wraca wynik 2. Dla τ = 1/4 otrzymujemy stosunek odległości równy 1: obie gwiazdy mogą leżeć równie daleko, a cały spadek strumienia powoduje pył. Przy τ = 1/16 B mogłaby być nawet dwa razy bliżej od A.

Jedna liczba, wiele możliwych sytuacji

Wszystkie trzy przykłady dają F_B/F_A = 1/4. Nie są błędami pomiaru; pokazują, że pojedynczy pomiar nie wystarcza do wyznaczenia dwóch niewiadomych. Założenie o przezroczystości dostarczało brakującej informacji.

Przy nieznanym pyłowym osłabieniu odległość nie jest wyznaczona jednoznacznie. Wynik 2d_A stanowi górną granicę w tym konkretnym modelu: jednakowe L, nieosłabiona A i 0 < τ ≤ 1. Nie jest uniwersalną granicą dla dowolnej pary gwiazd.

Sprawdź samodzielnie przypadek τ = 1/2. Powinno wyjść d_B/d_A = √2. Dodatkowe dane, na przykład niezależna odległość lub oszacowanie ekstynkcji, pozwoliłyby rozdzielić oba wpływy. Nie wystarczy po prostu dokładniej zmierzyć tę samą pojedynczą liczbę F.

Powiązana teoria

Moc promieniowania gwiazdy a jasność obserwowana

Dalsza lektura

Materiał referencyjny