Dwie próbki na okres i niewidzialna sinusoida

Rozwiązanie

1. Ta sama częstotliwość, zupełnie inne próbki

Dla x₁ otrzymujemy 3 V sin(πn) = 0 dla każdego całkowitego n. Sinusoida o amplitudzie 3 V jest w próbkach nierozróżnialna od sygnału stale zerowego. Dla x₂ mamy 3 V cos(πn) = 3(−1)ⁿ V, a więc +3, −3, +3, −3 V i tak dalej. Oba sygnały leżą dokładnie na częstotliwości Nyquista 100 Hz.

2. Nieznana faza ukrywa amplitudę

x[n]=A[\sin(\pi n)\cos\varphi+\cos(\pi n)\sin\varphi]=(-1)^nA\sin\varphi.

Dane wyznaczają tylko C = A sin φ. Na przykład A = 3 V i φ = π/6 oraz A = 1,5 V i φ = π/2 dają identyczny ciąg ±1,5 V. Gdy C = 0, zgodna jest dowolna amplituda z φ = 0. Prążek DFT Nyquista opisuje wartość C, nie ogólną analogową amplitudę A.

3. Formułujemy warunek z właściwą nierównością

Dla standardowego dolnopasmowego sygnału z B = 90 Hz przyjmujemy f_s > 180 Hz. Próbkowanie 200 Hz spełnia ten ścisły warunek dla tak ograniczonego pasma i daje odstęp 10 Hz między B a częstotliwością Nyquista. Dokładnie 180 Hz pozostawiłoby opisany problem dla składowej 90 Hz o nieznanej fazie.

W praktyce trzeba jeszcze sprawdzić, czy filtr analogowy zdąży odpowiednio osłabić sygnały poza pasmem w tak wąskim obszarze przejściowym. Nierówność idealnego twierdzenia nie zastępuje specyfikacji filtru, szumu i dokładności.

Wynik: pierwszy sygnał daje same zera, drugi ±3 V; ogólnie mierzymy A sin φ. Dokładnie dwie próbki na okres nie zapewniają rekonstrukcji dowolnej sinusoidy. Dla B = 90 Hz warunek dolnopasmowy ma postać f_s > 180 Hz.

Powiązana teoria

Próbkowanie i aliasing: jakie częstotliwości naprawdę mierzymy?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny