Siedemset herców odczytane jako trzysta: co dzieje się z fazą?

Rozwiązanie

1. Składamy częstotliwość do pasma Nyquista

Po odjęciu f_s otrzymujemy 700 − 1000 = −300 Hz. Dla chwil n/1000 s:

x[n]=\cos(2\pi n-2\pi\cdot0{,}3n+\pi/6)\,\mathrm{V}=\cos(2\pi\cdot0{,}3n-\pi/6)\,\mathrm{V}.

Pierwsza równość usuwa pełne obroty, a druga korzysta z cos(−θ) = cos θ. Równoważny dolnopasmowy kosinus ma więc 300 Hz i fazę −π/6. Zachowanie fazy +π/6 przy jednoczesnej zmianie częstotliwości dałoby inny ciąg.

2. Sprawdzamy dwie próbki

Przy n = 0 oba przebiegi dają cos(π/6) V = √3/2 V ≈ 0,86603 V. Przy n = 1 oryginalny argument wynosi 1,4π + π/6, a argument aliasu 0,6π − π/6. Kosinusy mają jednakową wartość około 0,20791 V.

To sprawdzenie liczbowe ilustruje tożsamość, ale jej nie zastępuje: wyprowadzenie działa dla każdego całkowitego n, niezależnie od długości rekordu. Wydłużenie pomiaru przy niezmienionym f_s nie usunie tej niejednoznaczności.

3. Rozróżniamy dane od założeń o ich źródle

DFT dostaje ten sam wektor próbek w obu przypadkach, więc musi zwrócić ten sam wynik. Ograniczenie analogowego pasma poniżej 500 Hz pozwoliłoby wykluczyć 700 Hz, ale jest to informacja o torze pomiarowym. Bez niej nie wolno uznać prążka 300 Hz za dowód rzeczywistego wolnego drgania.

Wynik: alias ma 300 Hz, amplitudę 1,00 V i fazę −π/6; próbki n = 0 i 1 to około 0,86603 V i 0,20791 V. Sama DFT nie rozstrzyga między obydwoma źródłami.

Powiązana teoria

Próbkowanie i aliasing: jakie częstotliwości naprawdę mierzymy?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny