Czy pojedynczy filtr RC wystarczy przed próbnikiem?
Przy próbkowaniu 1000 Hz sygnał użyteczny 50 Hz ma amplitudę 1,00 V, a zakłócenie 900 Hz amplitudę 2,00 V. Filtr analogowy ma zachować co najmniej 0,950 V sygnału oraz ograniczyć zakłócenie na wejściu próbnika do najwyżej 0,0100 V. Najpierw sprawdź model pierwszego rzędu |H| = 1/√[1 + (f/fg)²]. Następnie dla modelu Butterwortha |H| = 1/√[1 + (f/fg)2m] wyznacz najmniejszy całkowity rząd m, dla którego istnieje odpowiednie fg, i sprawdź m = 3, fg = 100 Hz. Gdzie pojawi się alias zakłócenia? Czy filtr cyfrowy po pomiarze rozpozna jego analogowe pochodzenie?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Warunek zachowania 50 Hz daje dolną granicę fg, a tłumienia 900 Hz górną. Porównaj granice przed wyborem częstotliwości. W modelu rzędu m ich zgodność zależy od stosunku 900/50 = 18.
Rozwiązanie
1. Pierwszy rząd daje sprzeczne granice
Dla sygnału użytecznego wymagamy 1/√[1 + (50/fg)²] ≥ 0,950. Odwracamy i kwadratujemy dodatnie strony:
f_g\ge\frac{50}{\sqrt{1/0{,}95^2-1}}\,\mathrm{Hz}\approx152{,}122\,\mathrm{Hz}.
Dla zakłócenia stosunek amplitud musi być najwyżej 0,0100/2,00 = 0,005. To daje:
f_g\le\frac{900}{\sqrt{200^2-1}}\,\mathrm{Hz}\approx4{,}50006\,\mathrm{Hz}.
Żadna dodatnia częstotliwość nie spełnia obu warunków. Dobranie RC „gdzieś między 50 a 900 Hz” nie rozwiązuje problemu; ten model ma zbyt łagodne opadanie amplitudy.
2. Szukamy najmniejszego rzędu modelu
Oznaczmy a = 1/0,95² − 1 i b = 200² − 1. Dla rzędu m warunki mają postać (50/fg)2m ≤ a i (900/fg)2m ≥ b. Dopuszczalny przedział fg istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy:
18^{2m}\ge\frac ba,\qquad m\ge\frac{\ln(b/a)}{2\ln18}\approx2{,}21804.
Najmniejszy całkowity rząd wynosi więc m = 3. Nie jest to liczba identycznych filtrów RC połączonych bezpośrednio: taki układ na ogół nie ma charakterystyki Butterwortha, a stopnie mogą się wzajemnie obciążać.
3. Sprawdzamy konkretny dopuszczalny model
Dla m = 3 i fg = 100 Hz amplituda użyteczna wynosi 1/√(1 + 0,5⁶) V ≈ 0,99228 V. Amplituda zakłócenia to 2/√(1 + 9⁶) V ≈ 0,00274348 V = 2,74348 mV. Oba wymagania są spełnione.
Zakłócenie 900 Hz składa się przy próbkowaniu 1000 Hz do 100 Hz. W idealnym modelu próbkowanie nie zwiększa jego amplitudy; problemem jest błędna identyfikacja częstotliwości. Filtr cyfrowy może usunąć 100 Hz, jeśli z góry uznamy to pasmo za nieużyteczne, ale usunie też ewentualny prawdziwy sygnał 100 Hz. Nie rozpozna źródła z samych próbek.
Wynik: pojedynczy model RC nie wystarcza; najmniejszy rząd Butterwortha to 3. Przy 100 Hz otrzymujemy 0,99228 V użyteczne i 2,74348 mV zakłócenia, którego alias leży przy 100 Hz. To sprawdzenie modelu amplitudowego, nie kompletny projekt fizycznego filtru.
Powiązana teoria
Próbkowanie i aliasing: jakie częstotliwości naprawdę mierzymy?
Dalsza lektura
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto