Dwa zegary oddzielone wysokością stu osiemdziesięciu metrów

Rozwiązanie

Wielkość względna przed bezwzględną

Porównujemy nieruchome zegary w słabym polu, przy stałym g i bez poprawki od ruchu. Najpierw liczymy bezwymiarowy iloraz gΔh/c². Określa on różnicę tempa, a nie od razu różnicę wskazań w sekundach.

Potęgi i jednostki

Kwadrat szybkości światła wynosi 9·10¹⁶ m²/s². Iloczyn gΔh to 1800 m²/s². Jednostki skracają się i zostaje 2·10⁻¹⁴. Dopiero mnożenie przez 50 000 s daje liczbę sekund przewagi górnego zegara.

Znak znamy przed obliczeniami: zegar o większym potencjale grawitacyjnym chodzi w tym porównaniu szybciej. Pytanie dotyczy jego przewagi, więc odpowiedź ma być dodatnia. Mała wartość liczbowa nie upoważnia do zmiany znaku ani uznania efektu za dokładnie zerowy.

Wynik

Względna różnica tempa to 10\cdot180/(3\cdot10^8)^2=2\cdot10^{-14}. W ciągu 50 000 s daje \Delta t=5\cdot10^4\cdot2\cdot10^{-14}=10^{-9}\ \mathrm{s}.

Odpowiedź: wyższy zegar zyska około 1 ns. Wynik jest dodatni dla zegara położonego wyżej; odwrócenie znaku odwróciłoby fizyczny sens efektu.

Kontrola skali i wariant

Nanosekunda to 10⁻⁹ s. Różnica stanowi 2·10⁻¹⁴ całego czasu porównania, co odtwarza pierwszy etap rachunku. Dla dwa razy dłuższego czasu przewaga wyniosłaby 2 ns. Dla tej samej wysokości obu zegarów część grawitacyjna byłaby zerowa. Nie należy przenosić wyniku bez zmian na zegar krążący na satelicie: jego prędkość wnosi osobny efekt, a stałe g może być zbyt grubym przybliżeniem.

Powiązana teoria

Grawitacja i czas: pierwszy krok w ogólną teorię względności

Dalsza lektura

Materiał referencyjny