Światło wysłane o dziewięćset metrów wyżej

Rozwiązanie

Co oznacza podany ułamek?

Licznik fₙₐd−fₒdb jest dodatni, jeśli światło traci częstotliwość w drodze w górę. Mianownik jest częstotliwością nadajnika. Podany wzór określa względny spadek, który trzeba pomnożyć przez fₙₐd, aby otrzymać różnicę w hercach.

Rachunek rzędu wielkości

Dla 900 m mamy gΔh=9000 m²/s². Po podzieleniu przez 9·10¹⁶ m²/s² otrzymujemy 10⁻¹³. Mnożenie przez 6·10¹⁴ Hz daje 60 Hz. Częstotliwość odbierana nadal jest bliska 6·10¹⁴ Hz; 60 Hz jest tylko małą różnicą dwóch dużych wartości.

U obu obserwatorów lokalnie obowiązuje λ=c/f. Przy mniejszej odbieranej częstotliwości długość fali jest większa. Nie zmniejszamy lokalnej szybkości światła, aby wyjaśnić efekt.

Wynik

Stosunek g\Delta h/c^2=10^{-13}. Spadek częstotliwości wynosi więc 6\cdot10^{14}\cdot10^{-13}=60\ \mathrm{Hz}. Dla lokalnego pomiaru \lambda=c/f, zatem mniejsza częstotliwość oznacza większą długość fali.

Odpowiedź: częstotliwość maleje o około 60 Hz, a długość fali rośnie. Zmiana stanowi bardzo małą część częstotliwości światła, nie 60 Hz całej częstotliwości odebranego sygnału.

Kontrola znaku i dodatkowe porównanie

Jest to przesunięcie ku czerwieni. Początkowa długość fali wynosi c/f=5·10⁻⁷ m, czyli 500 nm. Względny wzrost długości fali jest w pierwszym przybliżeniu równy 10⁻¹³; bezwzględnie około 5·10⁻²⁰ m. To bardzo mała zmiana, zgodna z niewielką różnicą wysokości. Przy wysłaniu światła w dół znak zmiany częstotliwości byłby przeciwny w tych samych założeniach.

Powiązana teoria

Grawitacja i czas: pierwszy krok w ogólną teorię względności

Dalsza lektura

Materiał referencyjny