Grawitacja i czas: pierwszy krok w ogólną teorię względności

Potrzebne wiadomości: Grawitacja Newtona, potencjał, prędkość światła i ułamkowa zmiana wielkości.

Równoważność jest lokalna

W dostatecznie małym swobodnie spadającym laboratorium, obserwowanym przez krótki czas, można pominąć efekty grawitacyjne w lokalnym opisie doświadczeń. Nie znaczy to, że usunęliśmy pole z całej przestrzeni. Dwie oddalone kulki mogą zbliżać się do siebie, bo spadają ku temu samemu środkowi Ziemi. Takie efekty pływowe ujawniają niejednorodność pola.

Dwa nieruchome zegary nie muszą tykać zgodnie

Porównujemy zegary pozostające na stałych wysokościach w słabym, statycznym polu. Zegar wyżej chodzi szybciej. Dla małej różnicy wysokości Δh, przy praktycznie stałym g, przyrost względnego tempa wynosi w przybliżeniu \Delta f/f\approx g\Delta h/c^2. Po czasie T różnica wskazań jest w pierwszym przybliżeniu równa \Delta t\approx T g\Delta h/c^2. To różnica porównywanych zegarów; obserwator przy własnym zegarze nie widzi jego „spowolnionego tykania”.

Sprawdźmy rząd wielkości

Przy Δh=90 m, g=10 m/s² i c=3·10⁸ m/s względna różnica wynosi 10⁻¹⁴. Po 100 000 s górny zegar zyska około 10⁻⁹ s, czyli jedną nanosekundę. Mała liczba nie oznacza efektu zerowego.

Podobnie światło wysłane w górę jest odbierane przez wyżej położonego nieruchomego odbiorcę z nieco mniejszą częstotliwością. W tym przybliżeniu ułamkowy spadek częstotliwości ma wartość gΔh/c². Blisko bardzo zwartego obiektu ani stałe g, ani ten prosty wzór nie muszą wystarczać. Nie jest to też cała poprawka dla satelity: jego ruch wnosi osobny efekt szczególnej teorii względności.

Schemat porównania zegarów; wysokości i wskazania są celowo przedstawione bez wspólnej skali. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Dlaczego zwykły zegar może tu nie wystarczyć?

W mechanice szkolnej przyjmujemy jeden czas dla wszystkich obserwatorów. Dla codziennych prędkości i niewielkich różnic wysokości jest to bardzo dobre przybliżenie. Nie jest jednak dokładną własnością świata. Zegary porównywane w różnych warunkach mogą odmierzyć różne odstępy czasu między odpowiednio ustalonymi zdarzeniami. Nie chodzi o to, że mechanizm jednego zegarka gorzej nasmarowano.

Potrzebne jest precyzyjne pytanie: które zegary, gdzie się znajdują, jak się poruszają i w jaki sposób je porównujemy? Tutaj rozpatrujemy zegary nieruchome względem statycznego pola, na bliskich wysokościach, i pomijamy różnice wynikające z ruchu. Słowo „wyżej” oznacza większy potencjał grawitacyjny w tym układzie, a nie dowolny kierunek na rysunku.

Co mówi zasada równoważności, a czego nie?

Swobodnie spadające małe laboratorium pozwala lokalnie usunąć jednorodną część efektów grawitacji z opisu. Załoga nie jest podtrzymywana przez podłogę i nie odczuwa zwykłego ciężaru. Jednak dwie kulki puszczone daleko od siebie nie muszą zachować stałej odległości: kierunki pola prowadzą ku środkowi Ziemi. Gdy zwiększamy rozmiar laboratorium albo czas doświadczenia, ujawniają się efekty pływowe.

Dlatego nie utożsamiamy lokalnego braku wskazania wagi z całkowitym brakiem grawitacji. Astronauta na orbicie spada razem ze statkiem, choć pole Ziemi jest nadal istotne. Z drugiej strony podtrzymywany zegar na powierzchni nie porusza się tak jak swobodnie spadający zegar. Te warunki trzeba rozdzielić przed użyciem wzoru na porównanie tempa.

Mały parametr i jego jednostka

W słabym polu względna różnica tempa jest w pierwszym przybliżeniu równa różnicy potencjału podzielonej przez c². Blisko powierzchni Δφ≈gΔh, stąd gΔh/c². Licznik ma jednostkę m²/s², taką samą jak mianownik. Iloraz jest bezwymiarowy, bo porównujemy dwa tempa. Dopiero pomnożenie przez czas T daje różnicę wskazań w sekundach.

Nie jest to pełne wyprowadzenie ogólnej teorii względności. To jej przybliżony wynik używany w jasno ograniczonym zakresie. Małość gΔh/c² uzasadnia pomijanie wyrazów wyższych rzędów; mała wysokość względem promienia źródła uzasadnia z kolei traktowanie g jako stałego. Są to dwa powiązane, lecz różne założenia.

Przykład: nanosekunda przewagi

Dla Δh=180 m i g=10 m/s² różnica potencjału to około 1800 J/kg. Dzieląc przez (3·10⁸ m/s)²=9·10¹⁶ m²/s², dostajemy 2·10⁻¹⁴. W ciągu 50 000 s przewaga górnego zegara wynosi 10⁻⁹ s, czyli 1 ns. Nie należy dzielić przez samo c; wyszłaby błędna jednostka i zupełnie inny rząd wielkości.

Kontrast: częstotliwość światła wysłanego w górę

Światło z nadajnika na dole jest odbierane na górze z mniejszą częstotliwością w lokalnym pomiarze odbiorcy. Dla różnicy wysokości 900 m względny spadek to około 10⁻¹³. Jeśli nadajnik wysyła 6·10¹⁴ Hz, spadek wynosi około 60 Hz. To mała poprawka do ogromnej częstotliwości, a nie zmiana światła widzialnego w fale o częstotliwości 60 Hz.

Nie ma sprzeczności między szybszym tempem górnego zegara i mniejszą mierzoną tam częstotliwością sygnału z dołu. Częstotliwość oznacza liczbę cykli na jednostkę lokalnego czasu odbiorcy. Przy przesyłaniu sygnału w dół znak efektu się odwraca. W każdym lokalnym pomiarze w próżni nadal obowiązuje c=fλ.

Sprawdź się

Podwojenie czasu porównania podwaja nagromadzoną różnicę, nie zmieniając względnego tempa. Dwa nieruchome zegary na tej samej wysokości nie mają w tym modelu różnicy grawitacyjnej. Dla satelity nie wystarczy natomiast wstawić wysokości do tego wzoru: dochodzi wpływ ruchu oraz większa zmienność pola z odległością. Nie należy przedstawiać prostego rachunku jako kompletnej poprawki nawigacyjnej.

Zadania do tego tematu

• Dwa zegary oddzielone wysokością stu osiemdziesięciu metrów
• Światło wysłane o dziewięćset metrów wyżej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny