Które funkcje spełniają warunki nieprzenikalnych ścian?

Rozwiązanie

Dwie ściany są dwoma warunkami

Funkcja ψₐ zeruje się w obu końcach: sin0=sin2π=0. Dla ψᵦ już wartość w x=0 jest równa C, a dla ψ_c wartość w x=L wynosi C sin(π/2)=C. Dwie ostatnie propozycje nie spełniają warunków tego modelu. Możliwość policzenia ich skończonej normy nie naprawia braku zgodności ze ścianami.

Normalizacja i energia poprawnej propozycji

Całka C²sin²(2πx/L) po 0≤x≤L daje C²L/2. Stąd C=√(2/L). Druga pochodna tej funkcji wynosi −(2π/L)²ψₐ. Po wstawieniu do równania Schrödingera:

E=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2=4E_1.

Jest to stan n=2, z jednym węzłem wewnętrznym. Nie ma dwóch niezależnych stanów odpowiadających C i −C: różnią się tylko globalną fazą.

Sprawdzamy E=0 osobno

Wtedy ψ″=0 i ψ=Dx+B. Warunek ψ(0)=0 daje B=0, a ψ(L)=0 daje DL=0. Ponieważ L>0, także D=0. Otrzymaliśmy funkcję zerową, której norma wynosi zero. Nie można jej przeskalować do normy jeden. Najniższym dopuszczalnym stanem jest n=1 z dodatnią energią, nie n=0.

Powiązana teoria

Nieskończona studnia potencjału: skąd biorą się dozwolone energie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny