Zespolony współczynnik i wyniki pomiaru energii
W nieskończonej studni przygotowano ψ(x,0)=(√3/2)φ₁(x)+(i/2)φ₂(x). Funkcje φ₁ i φ₂ są ortonormalnymi stanami energii, E₂=4E₁, a E₁=0,3760 eV. Sprawdź normalizację, podaj możliwe wyniki i prawdopodobieństwa pomiaru energii, jej wartość średnią oraz odchylenie standardowe. Czy średnia jest tu dopuszczalnym wynikiem pojedynczego pomiaru?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Użyj modułów współczynników. Wariancja to ⟨E²⟩−⟨E⟩², a nie średnia z samych odchyleń.
Rozwiązanie
Amplitudy nie są prawdopodobieństwami
Mamy |√3/2|²=3/4 oraz |i/2|²=1/4. Suma wynosi jeden, a wyrazy mieszane znikają w normie dzięki ortogonalności. Nie liczymy (i/2)²=−1/4: prawdopodobieństwo wymaga mnożenia przez sprzężenie zespolone.
Pomiar energii da 0,3760 eV z prawdopodobieństwem 75% albo 1,504 eV z prawdopodobieństwem 25%. Faza i nie zmienia tych udziałów, choć ma znaczenie dla rozkładu położenia.
Średnia i rozrzut
\langle E\rangle=\frac34E_1+\frac14(4E_1)=\frac74E_1=0{,}6580\ \mathrm{eV}.
Drugi moment to ⟨E²⟩=(3/4)E₁²+(1/4)16E₁²=(19/4)E₁². Zatem:
\sigma_E^2=\left(\frac{19}{4}-\frac{49}{16}\right)E_1^2=\frac{27}{16}E_1^2,\qquad \sigma_E=\frac{3\sqrt3}{4}E_1\approx0{,}48844\ \mathrm{eV}.
Wariancja ma jednostkę eV², a odchylenie eV. Średnia 0,6580 eV nie jest nowym dozwolonym wynikiem pomiaru w tym stanie; leży pomiędzy dwiema możliwymi energiami. Statystyki dotyczą wielu identycznych przygotowań. Powtarzanie idealnego pomiaru energii bez ponownego przygotowania po pierwszym wyniku jest innym doświadczeniem.
Powiązana teoria
Superpozycja dwóch energii: co zmienia się w czasie, a co pozostaje stałe?
Dalsza lektura
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto