Nieskończona studnia potencjału: skąd biorą się dozwolone energie?

Potrzebne wiadomości: Normalizacja funkcji falowej, całki funkcji trygonometrycznych, druga pochodna, energia kinetyczna i stała Plancka.

Najpierw określamy układ

Rozważamy jedną nierelatywistyczną cząstkę o masie m, bez spinu i oddziaływań z innymi cząstkami. Może znajdować się w przedziale 0<x<L. Energia potencjalna V jest tam równa zero, a ściany idealnie nieprzenikalne. Jest to nieskończona studnia potencjału. Litera V oznacza tutaj energię potencjalną w dżulach lub elektronowoltach, nie napięcie elektryczne.

Ściany opisujemy warunkami ψ(0)=ψ(L)=0, a poza studnią funkcja znika. Nie wymagamy dodatkowo zerowej pochodnej przy ścianie: nieskończona bariera jest idealizacją, przy której pochodna może być nieciągła. Warunki dla skończonego skoku potencjału będą inne.

Szukamy stanu o jednej energii

Równanie stacjonarne wewnątrz studni ma postać:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi,\qquad \hbar=\frac{h}{2\pi}.

h to stała Plancka, ħ — jej wersja zredukowana. E jest szukaną energią stanu. Dla E>0 zapisujemy k=√(2mE)/ħ, o jednostce m⁻¹. Równanie ψ″=−k²ψ spełniają sinus i cosinus, więc ψ=A sin(kx)+B cos(kx). Pierwsza ściana daje B=0. Druga wymaga A sin(kL)=0. A nie może być zerowe, bo zerowa funkcja nie daje znormalizowanego stanu.

Stąd kL=nπ. Dodatnie liczby całkowite n=1,2,… oznaczają kolejne stany. n=0 dałoby funkcję zerową, a ujemne n tylko zmienia znak już znalezionej funkcji. Po podstawieniu k do energii otrzymujemy:

E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}=\frac{n^2h^2}{8mL^2}.

Dyskretne energie wynikają z dopasowania funkcji do obu ścian. Nie wystarczy sinus o dowolnej długości fali: musi mieć zera we właściwych miejscach.

Normalizacja i węzły

Całka sin²(nπx/L) po całej studni wynosi L/2. Z warunku A²L/2=1 dostajemy znormalizowane funkcje:

\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad 0\leq x\leq L.

Symbol φₙ wyróżnia konkretny stan własny energii, czyli funkcję, dla której równanie stacjonarne daje jedną wartość Eₙ. Funkcje dla różnych n są ortogonalne: całka φₙ*φₘ wynosi zero dla n≠m. Nie oznacza to, że ich iloczyn jest zerowy w każdym punkcie; dodatnie i ujemne wkłady znoszą się dopiero w całce.

Stan n ma n−1 węzłów wewnątrz przedziału. Ujemna amplituda nie oznacza ujemnego prawdopodobieństwa, a węzeł oznacza zerową gęstość w danym punkcie. Nie jest to klasyczna przeszkoda rozcinająca pudełko na osobne komory.

Dlaczego nie ma energii równej zero?

Dla E=0 równanie daje ψ″=0, czyli ψ=Ax+B. Warunek w x=0 zeruje B, a warunek w x=L zeruje A. Pozostaje wyłącznie funkcja zerowa. Dodatnią energię najniższego stanu otrzymujemy więc z warunków brzegowych. Ogólniej, po całkowaniu przez części energia stanu własnego jest proporcjonalna do ∫|ψ′|²dx i nie może być ujemna przy V=0 w studni.

Przykład: elektron w obszarze o szerokości nanometra

Dla masy elektronu wygodne przybliżenie stałej wynosi h²/(8mₑ)=0,3760 eV·nm². Przy L=1,0 nm otrzymujemy E₁=0,3760 eV, E₂=1,504 eV i E₃=3,384 eV. Odstępy wynoszą odpowiednio 1,128 eV oraz 1,880 eV. Rosną wraz z n; poziomy nie tworzą drabiny o równych szczeblach.

Dwukrotnie szersza studnia ma czterokrotnie mniejsze energie dla tego samego n. Nie wynika z tego, że dowolne nagłe przesunięcie ściany automatycznie pozostawi cząstkę w tym samym n: to osobny problem ewolucji stanu. Porównujemy tu dwa ustalone modele.

Co oznacza stan stacjonarny?

Pełna funkcja zależna od czasu to φₙ(x)exp(−iEₙt/ħ). Czynnik czasowy ma moduł jeden, zatem gęstość położenia nie zmienia się w czasie. Nie znaczy to, że cząstka klasycznie stoi w miejscu. Ma niezerową energię kinetyczną; w stanie φₙ średni pęd jest zerowy, lecz nie każdy wynik jego pomiaru jest zerowy. Superpozycja różnych energii może już mieć zmienną gęstość.

Sprawdź się: czy stan n=2 ma dwa wewnętrzne węzły? Ma jeden, przy x=L/2. Dwa pozostałe zera wynikają ze ścian. Ta różnica pozwala poprawnie rozpoznać stan na rysunku.

Zadania do tego tematu

• Energia elektronu i zmiana szerokości studni
• Węzeł w środku a prawdopodobieństwo w środkowej połowie
• Które funkcje spełniają warunki nieprzenikalnych ścian?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny