Węzeł w środku a prawdopodobieństwo w środkowej połowie

Rozwiązanie

Jeden wzór, dwa stany

Interesuje nas całka z |φₙ|², nie z samej φₙ. Korzystając z sin²z=(1−cos2z)/2, otrzymujemy:

P_n=\left[\frac{x}{L}-\frac{\sin(2n\pi x/L)}{2n\pi}\right]_{L/4}^{3L/4}.

Dla n=1 sinus na prawym końcu wynosi −1, a na lewym +1. Stąd P₁=1/2+1/π≈0,81831, czyli 81,83%. Środkowa połowa obejmuje szczyt gęstości stanu podstawowego.

Dla n=2 oba sinusy końcowe są zerowe: sin3π=sinπ=0. Otrzymujemy P₂=1/2. Gęstość ma dwa płaty i oba częściowo leżą w badanym przedziale.

Znaczenie węzła

W punkcie L/2 amplituda φ₂ i gęstość są zerowe. Pozostałe punkty między L/4 a 3L/4 mają jednak zwykle dodatnią gęstość, więc ich wkład do całki nie znika. Jeden punkt nie ma dodatniej długości; nie można rozszerzać własności tego punktu na cały przedział.

Dla kontroli każdy stan ma prawdopodobieństwo 1/2 w lewej połowie studni, co wynika z symetrii jego gęstości względem L/2. Nie przeczy to różnym wynikom dla środkowej połowy: porównujemy inne przedziały. Ujemna amplituda φ₂ po prawej stronie również niczego nie odejmuje od prawdopodobieństwa, ponieważ występuje jej moduł do kwadratu.

Powiązana teoria

Nieskończona studnia potencjału: skąd biorą się dozwolone energie?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny