Kinematyka - Ruch Po Okręgu - zadanie 2

Wektory jednostkowe \vec i i \vec j przyjmujemy jako prostopadłe i nieruchome w układzie inercjalnym. Dzięki temu przy różniczkowaniu zmieniają się tylko współczynniki przy nich. Dla obracającej się bazy trzeba byłoby uwzględnić także pochodne wektorów bazowych.

Moduł czyli inaczej długość wektora dla wektora przykładowego \vec{a} oznaczamy jako |\vec{a}| lub po prostu a
Nasz przypadek wygląda następująco:

\vec{\omega}=at\vec{i}+bt^2\vec{j}


Aby obliczyć moduł wektora prędkości kątowej w naszym przypadku wystarczy prosty wzór:

|\vec{\omega}|=\sqrt{\omega^2_x+\omega^2_y}


Gdzie w naszym przypadku:

\omega_x=at

\omega_y=bt^2


Podstawiamy więc:

|\vec{\omega}|=\sqrt{(at)^2+(bt^2)^2}

|\vec{\omega}|=\sqrt{a^2t^2+b^2t^4}

|\vec{\omega}|=\sqrt{t^2(a^2+b^2t^2)}

|\vec{\omega}|=|t|\sqrt{a^2+b^2t^2}


To jest wzór ogólny dla naszego przypadku (dla każdej chwili czasu) teraz mamy policzyć moduł wektora prędkości kątowej dla t=10s nie robimy nic innego jak proste wstawienie danych:

|\vec{\omega}|=10s\sqrt{(0.5\frac{1}{s^2})^2+(0.06\frac{1}{s^3}\cdot 10s)^2}

|\vec{\omega}|=\sqrt{61}\frac{1}{s} \approx 7.81 \frac{1}{s}



Teraz zajmijmy się przyśpieszeniem kątowym, najpierw trzeba je znać, więc skorzystamy z jego definicji:

\vec{\varepsilon}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}

Znamy równanie zmienności od czasu dla wektora prędkości kątowej, więc będzie nam z górki:

{\vec\varepsilon}=\frac{d(at\vec{i}+bt^2\vec{j})}{dt}=a\vec{i}+2bt\vec{j}


Dobra, teraz moduł przyśpieszenia kątowego analogicznie do prędkości kątowej:

|\vec{\varepsilon}|=\sqrt{a^2+(2bt)^2}=\sqrt{a^2+4b^2t^2}



I podstawiamy dane żeby mieć go dla chwili t=10s

\varepsilon=\sqrt{(0.5\frac{1}{s^2})^2+4\cdot (0.06\frac{1}{s^3})^2\cdot (10s)^2}

\varepsilon=\sqrt{\frac{169}{100}}=1.3\frac{1}{s^2}



Jeżeli są jakieś pytania, napisz komentarz.

Dla t = 10 s składowe prędkości kątowej wynoszą (5; 6) rad/s, a przyspieszenia kątowego (0,5; 1,2) rad/s². Stąd odpowiednio \sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}\approx7{,}81\,\mathrm{rad/s} oraz \sqrt{0{,}5^2+1{,}2^2}=1{,}3\,\mathrm{rad/s^2}. Moduł |t| w wyrażeniu ogólnym gwarantuje nieujemną wartość również dla ujemnych współrzędnych czasu; w zadaniu t jest dodatnie.