Kinematyka - Ruch Po Okręgu - zadanie 2

Moduł czyli inaczej długość wektora dla wektora przykładowego \vec{a} oznaczamy jako |\vec{a}| lub po prostu a
Nasz przypadek wygląda następująco:

\vec{\omega}=at\vec{i}+bt^2\vec{j}


Aby obliczyć moduł wektora prędkości kątowej w naszym przypadku wystarczy prosty wzór:

|\vec{\omega}|=\sqrt{\omega^2_x+\omega^2_y}


Gdzie w naszym przypadku:

\omega_x=at

\omega_y=bt^2


Podstawiamy więc:

|\vec{\omega}|=\sqrt{(at)^2+(bt^2)^2}

|\vec{\omega}|=\sqrt{a^2t^2+b^2t^4}

|\vec{\omega}|=\sqrt{t^2(a^2+b^2t^2)}

|\vec{\omega}|=t\sqrt{a^2+b^2t^2}


To jest wzór ogólny dla naszego przypadku (dla każdej chwili czasu) teraz mamy policzyć moduł wektora prędkości kątowej dla t=10s nie robimy nic innego jak proste wstawienie danych:

|\vec{\omega}|=10s\sqrt{(0.5\frac{1}{s^2})^2+(0.06\frac{1}{s^3}\cdot 10s)^2}

|\vec{\omega}|=\sqrt{61}\frac{1}{s} \approx 7.81 \frac{1}{s}



Teraz zajmijmy się przyśpieszeniem kątowym, najpierw trzeba je znać, więc skorzystamy z jego definicji:

\vec{\varepsilon}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}

Znamy równanie zmienności od czasu dla wektora prędkości kątowej, więc będzie nam z górki:

{\vec\varepsilon}=\frac{d(at\vec{i}+bt^2\vec{j})}{dt}=a\vec{i}+sbt\vec{j}


Dobra, teraz moduł przyśpieszenia kątowego analogicznie do prędkości kątowej:

|\vec{\varepsilon}|=\sqrt{a^2+(2bt)^2}=\sqrt{a^2+4b^2t^2}



I podstawiamy dane żeby mieć go dla chwili t=10s

\varepsilon=\sqrt{(0.5\frac{1}{s^2})^2+4\cdot (0.06\frac{1}{s^3})^2\cdot (10s)^2}

\varepsilon=\sqrt{\frac{169}{100}}=1.3\frac{1}{s^2}



Jeżeli są jakieś pytania, napisz komentarz.