Kinematyka - Ruch Po Okręgu - zadanie 1

Warto wykonać rysunek całej sytuacji:

Mamy obliczyć przyśpieszenie całkowite, więc sumę wektorową przyśpieszenia dośrodkowego i stycznego, aby to wykonać musimy znać najpierw te dwa przyśpieszenia, ale najpierw zapiszmy ogólnie:

\vec{a_c}=\vec{a_d}+\vec{a_s}

Widzimy że wartość będzie pochodzić z twierdzenia pitagorasa, więc:

a_c=\sqrt{a^2_d+a^2_s}

Teraz potrzebujemy wyprowadzić te oba przyśpieszenia:

a_s=\frac{dv}{dt}=\frac{d(ct)}{dt}=c

Jak widzimy styczne wyprowadziliśmy bardzo łatwo, gorzej będzie z dośrodkowym:

a_d=\frac{v^2}{R}

Taka jest jego definicja, niestety nie mamy żadnej z tych danych, wiemy jednak jak się zmienia prędkość i wiemy też że ma to być prędkość dla chwili czasu w której punkt przebył 0,1 długości okręgu, więc zapisujemy:

S=n \cdot 2\pi R

Ale wiemy też dzięki definicji drogi, że:

S=\int{v} dt=\int{ct} dt=\frac{1}{2}ct^2

Możemy teraz przyrównać:

n \cdot 2\pi R=\frac{1}{2}ct^2

Po przekształceniu:

R=\frac{ct^2}{4\pi n}

A wiedząc że
a_d=\frac{v^2}{R}

I

v=ct

Możemy podstawić i wyznaczyć przyśpieszenie dośrodkowe:

a_d=\frac{c^2t^2}{\frac{ct^2}{4\pi n}}=\frac{4\pi nc^2t^2}{ct^2}=4\pi nc

Mając oba przyśpieszenia możemy wyliczyć przyśpieszenie całkowite:


a_c=\sqrt{a^2_d+a^2_s}



a_c=\sqrt{c^2+(4\pi n c)^2}=c\sqrt{16\pi^2 n^2+1}


a_c=50\sqrt{1+16\pi^2(0{,}10)^2}\,\mathrm{m/s^2}\approx80{,}30\,\mathrm{m/s^2}


Jeżeli są jakieś pytania, napisz komentarz.

Kontrola liczb: przyspieszenie styczne wynosi a_s=50\,\mathrm{m/s^2}, a dośrodkowe a_d=4\pi\cdot0{,}10\cdot50\approx62{,}83\,\mathrm{m/s^2}. Ich prostopadłe wektory dają \sqrt{50^2+62{,}83^2}\approx80{,}30\,\mathrm{m/s^2}. Wartość wypadkowa jest większa od każdej ze składowych, lecz mniejsza od sumy ich wartości, co zgadza się z wynikiem.