Kulka puszczona z wysokości czterdziestu pięciu metrów

Rozwiązanie

Założenia i oś

Kulka startuje ze spoczynku, opór pomijamy, a g jest stałe. Oś s kierujemy w dół od punktu puszczenia. Wtedy s=gt²/2 i v=gt mają znaki dodatnie. Kontakt z podłożem kończy opis swobodnego spadania.

Cały lot i ostatnia sekunda

Z wysokości H wyznaczamy dodatni czas √(2H/g). Szybkość liczymy dopiero dla tej chwili. Ostatnia sekunda zaczyna się o sekundę wcześniej, gdy kulka już ma prędkość; nie jest osobnym spadkiem ze spoczynku. Jej drogą jest s(t)−s(t−1 s), a nie g(1 s)²/2.

Można też policzyć średnią szybkość w tym ostatnim przedziale. Ponieważ przyspieszenie jest stałe, średnia z szybkości na jego końcach jest dokładna. Prędkość rośnie wtedy od 20 do 30 m/s, więc przez sekundę ciało pokonuje 25 m.

Wynik

Z 45=10t^2/2 otrzymujemy dodatni czas t=3 s. Szybkość przed uderzeniem to v=10\cdot3=30\ \mathrm{m/s}. Po 2 s kulka przebyła 20 m, więc ostatnia sekunda obejmuje 45-20=25\ \mathrm{m}.

Odpowiedź: 3 s, 30 m/s w dół i 25 m w ostatniej sekundzie. Rachunek energii daje tę samą szybkość: \sqrt{2gH}=30\ \mathrm{m/s}.

Sprawdzenie energią i proporcjami

Ubytek m g H przechodzi w m v²/2. Po skróceniu masy wychodzi v=√(2gH)=30 m/s. Drogi kolejnych sekund to 5,15 i 25 m; ich suma daje 45 m. Podwojenie masy kulki nie zmienia żadnej z tych liczb w przyjętym modelu. Podwojenie wysokości daje natomiast czas 3√2 s i szybkość 30√2 m/s, a nie dwa razy większe wartości. To odróżnia zależność kwadratową drogi od liniowej zależności prędkości od czasu.

Powiązana teoria

Spadanie swobodne: wysokość, czas i prędkość bez mieszania znaków

Dalsza lektura

Materiał referencyjny